Fondsvekst med differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi lar $K$ være kapitalen i et fond $t$ år etter første innskudd. Hvert år setter vi inn 20 000 kroner i fondet. Avkastningen i fondet er 8 % per år.

Kapitalen i fondet vokser slik differensiallikningen nedenfor viser

K^{'} (t) = 0,08 \cdot K (t) + 20000

Kalkulator

Løs differensiallikningen. Finn et uttrykk for $K (t)$ når $K (0) = 20 000$ .

Kalkulator

Bestem størrelsen på kapitalen etter 20 år.

Kalkulator

Hvor lang tid vil det gå før fondet øker med 35 000 kroner per år ifølge modellen ovenfor?

Fasit

$K (t) = 270000 \cdot e^{0,08 t} - 250000$

$K (20) \approx 1 087 319 kr$

$t \approx 6,03 år$

LøsningsforslagKI-generert

Differensiallikningen

K^{'} (t) = 0,08 \cdot K (t) + 20000

er en lineær førsteordens differensiallikning. Vi skriver den om til standardform

K^{'} (t) - 0,08 \cdot K (t) = 20000

Homogen løsning: Løsningen av $K^{'} (t) - 0,08 \cdot K (t) = 0$ er

K_{h} (t) = C \cdot e^{0,08 t}

Partikulær løsning: Vi prøver en konstant løsning $K_{p} (t) = a$ . Da er $K_{p}^{'} (t) = 0$ , som gir

0 - 0,08 a = 20000 \Rightarrow a = - 250000

Generell løsning:

K (t) = C \cdot e^{0,08 t} - 250000

Vi bruker startbetingelsen $K (0) = 20000$ til å bestemme $C$ :

20000 = C \cdot e^{0} - 250000 \Rightarrow C = 270000

Dette gir

K (t) = 270000 \cdot e^{0,08 t} - 250000

Løsningen og at $K (0) = 20000$ er kontrollert i GeoGebra CAS, se skjermbildet under (linje 1–3).

CAS-kontroll av differensiallikningen

Vi setter $t = 20$ inn i uttrykket for $K (t)$ (se linje 4 i skjermbildet over):

K (20) = 270000 \cdot e^{0,08 \cdot 20} - 250000 = 270000 \cdot e^{1,6} - 250000

K (20) \approx 𝟏 𝟎𝟖𝟕 𝟑𝟏𝟗 𝐤𝐫

Etter 20 år er det altså omtrent 1 087 319 kroner i fondet.

Fondet øker med 35 000 kroner per år når $K^{'} (t) = 35000$ , altså når

0,08 \cdot K (t) + 20000 = 35000 \Rightarrow K (t) = 187500

Vi setter dette inn i uttrykket for $K (t)$ :

270000 \cdot e^{0,08 t} - 250000 = 187500

e^{0,08 t} = \frac{437500}{270000} = \frac{175}{108}

t = \frac{\ln (\frac{175}{108})}{0,08} \approx 𝟔,𝟎𝟑

Se linje 5 i skjermbildet over for CAS-løsningen av likningen, som gir samme resultat.

Det vil altså gå omtrent 6 år før fondet øker med 35 000 kroner per år.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Her godtas både ”nøyaktig” verdi og avrundet verdi for kapitalens størrelse.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2013, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Eksponentialfunksjon

Fondsvekst med differensiallikning

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Fondsvekst med differensiallikning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Fondsvekst med differensiallikning

Fondsvekst med differensiallikning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer