Folketall i et område

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En gruppe statistikere har sett på hvordan folketallet i et område har endret seg siden 1960, og laget en modell $F$ gitt ved

F (x) = \frac{1}{1000} \cdot (0,027 x^{3} - 5,8 x^{2} + 220 x + 7900), x \in [0, 80]

for folketallet $F (x)$ tusen innbyggere i området $x$ år etter 1960.

Kalkulator

Vis hvordan du på to ulike måter kan bestemme når folketallet var høyest ifølge modellen.

Kalkulator

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(30, F (30))$ og $(70, F (70))$ . Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.

Kalkulator

Når vil folketallet avta raskest ifølge modellen?

Fasit

Folketallet var høyest etter $x \approx 22,5 år (år 1982/1983)$ , med $F (22,5) \approx 10,22 tusen innbyggere$ .

Stigningstallet er $- 0,1467 tusen innbyggere per år \approx - 147 innb/år$ .

Folketallet avtar raskest etter $x \approx 71,6 år (rundt år 2031/2032)$ .

LøsningsforslagKI-generert

Graf for Folketall i et område

CAS-utregning

Vi skal finne når $F (x)$ har sitt maksimum for $x \in [0, 80]$ .

Metode 1 – grafisk (toppunkt):

Vi plotter $F (x)$ i GeoGebra og bruker verktøyet for å finne toppunktet. Grafen viser at toppunktet ligger ved $x \approx 22,5$ , se Topp i grafen.

Metode 2 – $F^{'} (x) = 0$ og fortegnstest:

Vi deriverer:

F^{'} (x) = \frac{1}{1000} (0,081 x^{2} - 11,6 x + 220)

Vi løser $F^{'} (x) = 0$ i CAS (linje 4) og får to løsninger. Den ene er $x \approx 22,5$ (innenfor domenet $[0, 80]$ ) og den andre er $x \approx 120,7$ (utenfor domenet).

Vi sjekker med andrederiverte (linje 3):

F^{''} (x) = \frac{1}{1000} (0,162 x - 11,6)

F^{''} (22,5) = \frac{1}{1000} (0,162 \cdot 22,5 - 11,6) \approx \frac{1}{1000} (3,645 - 11,6) < 0

Siden $F^{''} (22,5) < 0$ , er $x \approx 22,5$ et toppunkt.

Funksjonsverdi (linje 5):

F (22,5) = \frac{654163}{64000} \approx 10,22 tusen innbyggere

Folkretallet var høyest etter omtrent $22,5$ år, det vil si rundt 1982/1983, med ca. 10 220 innbyggere.

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Uten graftegner må begge metodene være algebraiske. Felles utgangspunkt er den deriverte

F^{'} (x) = \frac{1}{1000} (0,081 x^{2} - 11,6 x + 220)

som vi setter lik null og løser med abc-formelen:

x = \frac{11,6 \pm \sqrt{{(- 11,6)}^{2} - 4 \cdot 0,081 \cdot 220}}{2 \cdot 0,081} = \frac{11,6 \pm \sqrt{63,28}}{0,162}

x \approx 22,5 eller x \approx 120,7

Bare $x \approx 22,5$ ligger innenfor $[0, 80]$ .

Metode 1 — fortegnslinje for $F^{'}$ . Uttrykket $0,081 x^{2} - 11,6 x + 220$ er en parabel som vender den hule siden opp, og den er derfor positiv før det minste nullpunktet og negativ mellom nullpunktene. Altså er $F^{'} (x) > 0$ for $x < 22,5$ og $F^{'} (x) < 0$ for $22,5 < x \leq 80$ . Folketallet vokser fram til $x \approx 22,5$ og avtar etterpå, så der er toppunktet.

Metode 2 — andrederiverttesten. Vi deriverer en gang til:

F^{''} (x) = \frac{1}{1000} (0,162 x - 11,6)

F^{''} (22,5) = \frac{1}{1000} (0,162 \cdot 22,5 - 11,6) \approx \frac{- 7,96}{1000} < 0

Negativ dobbeltderivert betyr at grafen vender den hule siden ned, altså toppunkt. Folketallet regnes til slutt ut på kalkulatoren: $F (22,5) \approx 10,22$ tusen innbyggere.

Vi beregner stigningstallet til sekanten gjennom $(30, F (30))$ og $(70, F (70))$ (se CAS linje 6–8 og sekantlinjen sek i grafen):

F (30) = \frac{10009}{1000} = 10,009 og F (70) = \frac{4141}{1000} = 4,141

a = \frac{F (70) - F (30)}{70 - 30} = \frac{4,141 - 10,009}{40} = \frac{- 5,868}{40} = - \frac{1467}{10000} \approx - 0,1467

Stigningstallet er $\approx - 0,1467$ tusen innbyggere per år.

Praktisk tolkning: Fra 1990 ( $x = 30$ ) til 2030 ( $x = 70$ ) avtok folketallet i gjennomsnitt med omtrent $𝟏𝟒𝟕$ innbyggere per år.

Folketallet avtar raskest der $F^{'} (x)$ er mest negativ. Det skjer i vendepunktet til $F$ , altså der $F^{''} (x) = 0$ .

F^{''} (x) = \frac{1}{1000} (0,162 x - 11,6) = 0

Vi løser i CAS (linje 9):

x = \frac{5800}{81} \approx 71,6

Momentan vekstfart i dette punktet (linje 10):

F^{'} (71,6) = - \frac{1220679}{6250000} \approx - 0,1953 tusen innbyggere per år \approx - 195 innb/år

$x \approx 71,6$ svarer til år $1960 + 71,6 \approx 2031 / 2032$ , se vendepunktet Vend i grafen.

Ifølge modellen vil folketallet avta raskest rundt år 2031/2032, med en nedgang på ca. 195 innbyggere per år.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

1 poeng for hver metode med riktig svar.

1 poeng for riktig stigningstall.

1 poeng for en riktig praktisk tolkning av stigningstallet med riktig enhet.

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2023, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Modellering, Derivasjon, Gjennomsnittlig vekstfart
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Folketall i et område

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Folketall i et område

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Folketall i et område

Folketall i et område

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer