Fiskebåt og vektorbevegelse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Posisjonen $\vec{r}$ til en fiskebåt $t$ timer etter at den drar fra land, er gitt ved

\vec{r} (t) = [1 + 5 t, 4 + 8 t]

Enhetene langs aksene er kilometer.

Farten til en båt måles vanligvis i knop, der 1 knop er 1852 meter per time.

Kalkulator

Bestem farten til fiskebåten i knop.

Et fyr står i posisjonen $(4, 7)$ .

For hånd

Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret.

En fiskestim er i punktet $(1, - 3)$ ved tiden $t = 0$ , og stimen svømmer med hastigheten $\vec{v} (t) = [4, 11]$ .

Kalkulator

Vil fiskebåten treffe fiskestimen?

En annen fiskebåt er i punktet $(- 2, 0)$ ved tiden $t = 0$ og holder konstant fart i retning langs $\vec{u} = [6, 4]$ .

Kalkulator

Bestem farten denne fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen.

Fasit

$\approx 5,1 knop$

$\frac{9 \sqrt{89}}{89} \approx 0,954 km$

Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen.

$3 \sqrt{13} \approx 10,8 k m / t \approx 5,8 knop$

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra CAS ble brukt til å beregne fart, minimumsavstand og skjæringspunkter i én felles sesjon.

GeoGebra CAS – alle deloppgaver

Hastighetsvektoren til fiskebåten leses direkte av posisjonsuttrykket:

\vec{v} = [5, 8]

Farten (i km/t) er lengden av hastighetsvektoren:

| \vec{v} | = \sqrt{5^{2} + 8^{2}} = \sqrt{89} \approx 9,434 k m / t

Omregnet til knop (1 knop = 1,852 km/t):

\frac{\sqrt{89}}{1,852} \approx 𝟓,𝟏 knop

Se FartKnop i CAS-utklippet (linje 4).

Fyret står i $F = (4, 7)$ . Avstandsfunksjonen fra båten til fyret er

Avstand (t) = | \vec{r} (t) - F | = \sqrt{{(1 + 5 t - 4)}^{2} + {(4 + 8 t - 7)}^{2}} = \sqrt{89 t^{2} - 78 t + 18}

CAS finner minimumspunktet (linje 7):

MinAvstand = (\frac{39}{89}, \frac{9 \sqrt{89}}{89})

Det vil si at minimum nås ved $t = \frac{39}{89} \approx 0,438$ timer, og den minste avstanden er

\frac{9 \sqrt{89}}{89} \approx 𝟎,𝟗𝟓𝟒 km

Fiskestimmen har posisjon $\vec{s} (t) = [1 + 4 t, - 3 + 11 t]$ .

For at fiskebåten skal treffe stimen, må begge koordinater være like til samme tid:

{\begin{matrix} 1 + 5 t & = 1 + 4 t \\ 4 + 8 t & = - 3 + 11 t \end{matrix}

Første likning gir $t = 0$ , andre likning gir $t = \frac{7}{3}$ . Siden de to verdiene er ulike, finnes det ingen $t$ der båt og stim er på samme sted.

Fiskebåten treffer ikke fiskestimen.

(Se linje 9 i CAS-utklippet — likningssystemet har ingen løsning.)

Den andre fiskebåten starter i $(- 2, 0)$ og beveger seg i retning $\vec{u} = [6, 4]$ med konstant fart. La $k > 0$ være en skalar slik at hastighetsvektoren er $k \cdot [6, 4]$ . Posisjonen er da

{\vec{r}}_{2} (t) = (- 2 + 6 k t, 4 k t)

For at denne båten skal treffe fiskestimen $\vec{s} (t) = (1 + 4 t, - 3 + 11 t)$ ved samme tidspunkt $t$ :

{\begin{matrix} - 2 + 6 k t & = 1 + 4 t \\ 4 k t & = - 3 + 11 t \end{matrix}

CAS løser systemet (linje 10) og gir $k = \frac{3}{2}$ og $t = \frac{3}{5}$ .

Farten til den andre båten er lengden av hastighetsvektoren $\frac{3}{2} \cdot [6, 4]$ :

| \frac{3}{2} [6, 4] | = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{52} = \frac{3}{2} \cdot 2 \sqrt{13} = 3 \sqrt{13} \approx 10,8 k m / t

Omregnet til knop:

\frac{3 \sqrt{13}}{1,852} \approx 𝟓,𝟖 knop

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

Kandidater som regner ut farten i km/t kan få 1 poeng.

Kandidater som finner et uttrykk for avstanden, kan få 1 poeng. En god strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

Kandidater som finner den nye parameterfremstillingen og skjæringspunktet kan få 1 poeng.

En god strategi som ikke fører helt til svaret kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2025, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Vektorer, Modellering
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til linjer og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer
Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Fiskebåt og vektorbevegelse

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Fiskebåt og vektorbevegelse

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Fiskebåt og vektorbevegelse

Fiskebåt og vektorbevegelse

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer