Fiskebåt og vektorbevegelse

Posisjonen $\vec{r}$ til en fiskebåt $t$ timer etter at den drar fra land, er gitt ved

\vec{r}(t) = [1+5t,\ 4+8t]

Enhetene langs aksene er kilometer.

Farten til en båt måles vanligvis i knop, der 1 knop er 1852 meter per time.

Bestem farten til fiskebåten i knop.

Et fyr står i posisjonen $(4, 7)$ .

Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret.

En fiskestim er i punktet $(1, -3)$ ved tiden $t = 0$ , og stimen svømmer med hastigheten $\vec{v}(t) = [4, 11]$ .

Vil fiskebåten treffe fiskestimen?

En annen fiskebåt er i punktet $(-2, 0)$ ved tiden $t = 0$ og holder konstant fart i retning langs $\vec{u} = [6, 4]$ .

Bestem farten denne fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen.

Fasit

$\underline{\underline{\approx 5{,}1 \, \mathrm{knop}}}$

$\underline{\underline{\dfrac{9\sqrt{89}}{89} \approx 0{,}954 \, \mathrm{km}}}$

Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen.

$\underline{\underline{3\sqrt{13} \approx 10{,}8 \, \mathrm{km/t} \approx 5{,}8 \, \mathrm{knop}}}$

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra CAS ble brukt til å beregne fart, minimumsavstand og skjæringspunkter i én felles sesjon.

GeoGebra CAS – alle deloppgaver

Hastighetsvektoren til fiskebåten leses direkte av posisjonsuttrykket:

\vec{v} = [5,\ 8]

Farten (i km/t) er lengden av hastighetsvektoren:

|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9{,}434 \, \mathrm{km/t}

Omregnet til knop (1 knop = 1,852 km/t):

\frac{\sqrt{89}}{1{,}852} \approx \mathbf{5{,}1 \, \mathrm{knop}}

Se FartKnop i CAS-utklippet (linje 4).

Fyret står i $F = (4, 7)$ . Avstandsfunksjonen fra båten til fyret er

\text{Avstand}(t) = |\vec{r}(t) - F| = \sqrt{(1+5t-4)^2 + (4+8t-7)^2} = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}

CAS finner minimumspunktet (linje 7):

\text{MinAvstand} = \left(\frac{39}{89},\ \frac{9\sqrt{89}}{89}\right)

Det vil si at minimum nås ved $t = \dfrac{39}{89} \approx 0{,}438$ timer, og den minste avstanden er

\frac{9\sqrt{89}}{89} \approx \mathbf{0{,}954 \, \mathrm{km}}

Fiskestimmen har posisjon $\vec{s}(t) = [1+4t,\ {-3}+11t]$ .

For at fiskebåten skal treffe stimen, må begge koordinater være like til samme tid:

\begin{cases} 1 + 5t &= 1 + 4t \\ 4 + 8t &= -3 + 11t \end{cases}

Første likning gir $t = 0$ , andre likning gir $t = \dfrac{7}{3}$ . Siden de to verdiene er ulike, finnes det ingen $t$ der båt og stim er på samme sted.

Fiskebåten treffer ikke fiskestimen.

(Se linje 9 i CAS-utklippet — likningssystemet har ingen løsning.)

Den andre fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og beveger seg i retning $\vec{u} = [6, 4]$ med konstant fart. La $k > 0$ være en skalar slik at hastighetsvektoren er $k \cdot [6, 4]$ . Posisjonen er da

\vec{r}_2(t) = (-2 + 6kt,\ 4kt)

For at denne båten skal treffe fiskestimen $\vec{s}(t) = (1+4t,\ {-3}+11t)$ ved samme tidspunkt $t$ :

\begin{cases} -2 + 6kt &= 1 + 4t \\ 4kt &= -3 + 11t \end{cases}

CAS løser systemet (linje 10) og gir $k = \dfrac{3}{2}$ og $t = \dfrac{3}{5}$ .

Farten til den andre båten er lengden av hastighetsvektoren $\dfrac{3}{2} \cdot [6, 4]$ :

\left|\frac{3}{2}[6, 4]\right| = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{6^2 + 4^2} = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{52} = \frac{3}{2} \cdot 2\sqrt{13} = 3\sqrt{13} \approx 10{,}8 \, \mathrm{km/t}

Omregnet til knop:

\frac{3\sqrt{13}}{1{,}852} \approx \mathbf{5{,}8 \, \mathrm{knop}}

Sensorveiledning

2 poeng

Kandidater som regner ut farten i km/t kan få 1 poeng.

2 poeng

Kandidater som finner et uttrykk for avstanden, kan få 1 poeng. En god strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

2 poeng

Kandidater som finner den nye parameterfremstillingen og skjæringspunktet kan få 1 poeng.

2 poeng

En god strategi som ikke fører helt til svaret kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: vektorer, modellering
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til linjer og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer
Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet