Firkant med rett vinkel og sider uttrykt ved a

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

|400

Gitt firkanten ovenfor. $A D = a$ , $A C = 2 a$ , $B C = \sqrt{3} \cdot a$ , $∠ A D C = 90^{\circ}$ og $∠ B C D = 165^{\circ}$ .

For hånd

Bestem lengden av siden $C D$ uttrykt ved $a$ .

For hånd

Bestem lengden av siden $A B$ uttrykt ved $a$ .

Fasit

$C D = a \sqrt{3}$

$A B = a (1 + \sqrt{6})$

LøsningsforslagKI-generert

Trekant $A C D$ er rettvinklet i $D$ , med kateter $A D = a$ og $C D$ , og hypotenus $A C = 2 a$ . Ved Pytagoras’ setning:

A C^{2} = A D^{2} + C D^{2}

C D = \sqrt{A C^{2} - A D^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} - a^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - a^{2}} = \sqrt{3 a^{2}} = a \sqrt{3}

$C D = a \sqrt{3}$

Vi trenger først vinkelen $∠ A C D$ i den rettvinklede trekanten $A C D$ . Siden $\sin (∠ A C D) = \frac{A D}{A C} = \frac{a}{2 a} = 0,5$ , er

∠ A C D = 30 °

Diagonalen $C A$ deler den store vinkelen $∠ B C D = 165 °$ i vinkelen $∠ A C D = 30 °$ og vinkelen $∠ A C B$ . Da er

∠ A C B = 165 ° - 30 ° = 135 °

I trekant $A C B$ kjenner vi nå to sider og vinkelen mellom dem: $A C = 2 a$ , $C B = a \sqrt{3}$ og $∠ A C B = 135 °$ . Vi bruker cosinussetningen til å finne $A B$ :

A B^{2} = A^{C 2} + C^{B 2} - 2 \cdot A C \cdot C B \cdot \cos (∠ A C B)

A B^{2} = {(2 a)}^{2} + {(a \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot 2 a \cdot a \sqrt{3} \cdot \cos (135 °)

Siden $\cos (135 °) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , får vi

A B^{2} = 4 a^{2} + 3 a^{2} - 4 \sqrt{3} a^{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 7 a^{2} + 2 \sqrt{6} a^{2} = a^{2} (7 + 2 \sqrt{6})

A B = a \sqrt{7 + 2 \sqrt{6}}

Uttrykket under rottegnet kan skrives som et fullstendig kvadrat: $7 + 2 \sqrt{6} = 1 + 2 \sqrt{6} + 6 = {(1 + \sqrt{6})}^{2}$ . Dermed forenkles svaret til

A B = a \sqrt{{(1 + \sqrt{6})}^{2}} = a (1 + \sqrt{6})

$A B = a (1 + \sqrt{6}) \approx 3,45 a$

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2019, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Geometri, Trigonometri, Cosinussetningen, Pytagoras

Firkant med rett vinkel og sider uttrykt ved a

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Firkant med rett vinkel og sider uttrykt ved a

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Firkant med rett vinkel og sider uttrykt ved a

Firkant med rett vinkel og sider uttrykt ved a

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer