Faktorisert fjerdegradsfunksjon og lese av fra graf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

For hånd

Tegn grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = 2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)

På figur 1 er det tegnet en skisse av grafen til en annen funksjon $g$ .

Grafskisse av g med nullpunkter ved x=-2, 1, 3 og y-skjæring 12

For hånd

Skriv funksjonsuttrykket $g (x)$ på samme form som i a).

På figur 2 er det tegnet en skisse av grafen til en tredje funksjon $h$ .

Grafskisse av h med nullpunkter ved x=-2 og x=2, og y-skjæring 4

For hånd

Skriv funksjonsuttrykket $h (x)$ på samme form som ovenfor.

Fasit

Se graf i løsningsforslaget.

$g (x) = 2 (x + 2) (x - 1) (x - 3)$

$h (x) = \frac{1}{2} (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen $f (x) = 2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)$ har nullpunkter i $x = - 1$ , $x = 1$ og $x = 3$ . Ved å taste uttrykket inn i GeoGebra får vi grafen:

Grafen til f

Grafen har lokalt toppunkt omtrent i $(- 0,15, 6,16)$ og lokalt bunnpunkt omtrent i $(2,15, - 6,16)$ , og går mot $- \infty$ når $x \to - \infty$ og mot $+ \infty$ når $x \to + \infty$ .

Av figur 1 ser vi at grafen til $g$ har nullpunkter i $x = - 2$ , $x = 1$ og $x = 3$ . Da må $g$ kunne skrives på formen

g (x) = a (x + 2) (x - 1) (x - 3)

Av grafen ser vi også at $g$ skjærer $y$ -aksen i punktet $(0, 12)$ , altså $g (0) = 12$ . Dette bruker vi til å bestemme $a$ :

g (0) = a \cdot (0 + 2) (0 - 1) (0 - 3) = a \cdot 2 \cdot (- 1) \cdot (- 3) = 6 a

6 a = 12 \Rightarrow a = 2

Funksjonsuttrykket blir dermed

g (x) = 2 (x + 2) (x - 1) (x - 3)

Av figur 2 ser vi at grafen til $h$ har et enkelt nullpunkt i $x = - 2$ og tangerer $x$ -aksen i $x = 2$ (grafen snur uten å krysse aksen der). Det betyr at $x = 2$ er et dobbelt nullpunkt, og $h$ kan skrives på formen

h (x) = a (x + 2) {(x - 2)}^{2}

Av grafen ser vi at $h$ skjærer $y$ -aksen i punktet $(0, 4)$ , altså $h (0) = 4$ . Dette bruker vi til å bestemme $a$ :

h (0) = a \cdot (0 + 2) {(0 - 2)}^{2} = a \cdot 2 \cdot 4 = 8 a

8 a = 4 \Rightarrow a = \frac{1}{2}

Funksjonsuttrykket blir dermed

h (x) = \frac{1}{2} (x + 2) {(x - 2)}^{2}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

For å få full utelling må svaret begrunnes.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2012, del 2, oppgave 9
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Funksjoner, Nullpunkter, Graf, Faktorisering

Faktorisert fjerdegradsfunksjon og lese av fra graf

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Faktorisert fjerdegradsfunksjon og lese av fra graf

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Faktorisert fjerdegradsfunksjon og lese av fra graf

Faktorisert fjerdegradsfunksjon og lese av fra graf

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer