Faktorisering av tredjegradsuttrykk v23

Gitt likningen

x^{3}-5 x^{2}-8 x+12=(x-1)(x+a)(x-b)

Bestem $a$ og $b$ slik at likningen blir en identitet.

Fasit

$a=2 \wedge b=6$

Løsningsforslag

Hvis likningen skal være en identitet så må uttrykkene på høyre side og venstre side være like for alle $x$ .

Vi ser av faktoriseringen at $(x-1)$ er en faktor i $x^3-5x^2-8x+12$ . Det enkleste er nok derfor å dividere begge sider av likningen med $(x-1)$ .[^3] Venstre side blir da:

\begin{aligned} (x^3-5x^2-8x+12&):(x-1)= \underline{x^2-4x+12}\\ \underline{x^3 -1x^2+0x+\,0}&\\ -4x^2-8x+12&\\ \underline{-4x^2 +4x+0}&\\ 12x+12&\\ \underline{12x+12}&\\ 0& \end{aligned}

Jeg utfører divisjonen på begge sider av den opprinnelige likningen og får

\begin{aligned} (x^3-5x^2-8x+12):(x-1)&= \cancel{ (x-1) }(x+a)(x-b):\cancel{ (x-1) }\\ \underbrace{ x^2-4x+12}_{ \text{heltallsmetoden gir }(x+2)(x-6) }&=(x+a)(x-b)\\ (x+2)(x-6)&=(x+a)(x-b) \end{aligned}

Jeg ser at $\underline{\underline{a=2\wedge b=6}}$ for at likningen skal bli en identitet.

Sensorveiledning

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, men ikke kommer fram til riktige verdier for $a$ og $b$ , kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: likninger, identiteter, faktorisering, polynomdivisjon
Kompetansemål: Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar
Forklare forskjellen mellom ein identitet, ei likning, eit algebraisk uttrykk og ein funksjon