Vi deriverer $f(x)=x^2\cdot e^{-x}$ med produktregelen og kjerneregelen:

Siden $e^{-x}>0$ for alle $x$, bestemmes fortegnet til $f^{\prime }(x)$ av $x(2-x)$. Vi finner nullpunktene til $f^{\prime }(x)$:

Fortegnsskjema for $f^{\prime }(x)$:

• For $x<0$: $x<0$ og $2-x>0$, så $f^{\prime }(x)<0$ (avtagende)
• For $0<x<2$: $x>0$ og $2-x>0$, så $f^{\prime }(x)>0$ (voksende)
• For $x>2$: $x>0$ og $2-x<0$, så $f^{\prime }(x)<0$ (avtagende)

I $x=0$ går $f$ fra avtagende til voksende, så dette er et bunnpunkt:

I $x=2$ går $f$ fra voksende til avtagende, så dette er et toppunkt:

Svar: Bunnpunkt $\underline{\underline{(0,0)}}$ og toppunkt $\underline{\underline{(2,4e^{-2})}}$.

Vi bruker resultatene fra a) til å skissere grafen. For $x\to -\infty$ vokser $e^{-x}$ mye raskere enn $x^2$, så $f(x)\to \infty$. Grafen er avtagende helt til bunnpunktet $(\mathrm{0,0})$, deretter voksende opp til toppunktet $(2,4e^{-2})\approx (2,\mathrm{0,54})$. For $x\to \infty$ dominerer $e^{-x}$, slik at $f(x)\to 0$ og grafen flater ut mot $x$-aksen som en horisontal asymptote.

Grafen faller altså fra store verdier (venstre), passerer gjennom origo som et bunnpunkt, stiger til et toppunkt ved $x=2$, og synker deretter mot $0$ uten å bli negativ.