Eksakt omkrets og areal til firkant ved cosinussetningen og trekantoppdeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt firkanten $A B C D$ ovenfor. $A B = 8$ , $B C = 12$ og $C D = 8 \sqrt{3}$ .

Krever PC

Bestem omkretsen av firkanten $A B C D$ eksakt.

Krever PC

Bestem arealet av firkanten $A B C D$ eksakt.

Fasit

$O = 24 + 8 \sqrt{3}$

$A = 32 \sqrt{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi trekker diagonalen $B D$ . Da deles firkanten $A B C D$ i to trekanter, $△ B C D$ og $△ A B D$ , og vi kan bruke cosinussetningen og sinussetningen på hver av dem.

Finner $B D$ i $△ B C D$

I $△ B C D$ kjenner vi $B C = 12$ , $C D = 8 \sqrt{3}$ og vinkelen $C = 30 °$ mellom dem. Cosinussetningen gir

B D^{2} = B C^{2} + C D^{2} - 2 \cdot B C \cdot C D \cdot \cos C

B D^{2} = 12^{2} + {(8 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot 12 \cdot 8 \sqrt{3} \cdot \cos 30 °

B D^{2} = 144 + 192 - 192 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 336 - 288 = 48

B D = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}

Finner $A D$ i $△ A B D$

I $△ A B D$ kjenner vi nå $A B = 8$ , $B D = 4 \sqrt{3}$ og vinkelen $A = 60 °$ mellom $A B$ og $A D$ . Cosinussetningen gir

B D^{2} = A B^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A B \cdot A D \cdot \cos A

48 = 8^{2} + A D^{2} - 2 \cdot 8 \cdot A D \cdot \cos 60 °

48 = 64 + A D^{2} - 8 \cdot A D

A D^{2} - 8 \cdot A D + 16 = 0

Dette er et andregradsuttrykk som er en fullstendig kvadrat, ${(A D - 4)}^{2} = 0$ , så

A D = 4

Omkretsen

O = A B + B C + C D + D A = 8 + 12 + 8 \sqrt{3} + 4 = 24 + 8 \sqrt{3} \approx 37,9

Utregningen er verifisert i GeoGebra CAS, se utklippet under.

Beregning av BD, AD, omkrets og areal i GeoGebra CAS

Arealet av firkanten er summen av arealet til de to trekantene, som begge kan regnes ut med arealformelen $A = \frac{1}{2} a b \sin C$ .

Areal av $△ B C D$ :

A_{B C D} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot C D \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \sqrt{3} \cdot \sin 30 ° = 48 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 24 \sqrt{3}

Areal av $△ A B D$ :

A_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A D \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \cdot \sin 60 ° = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \sqrt{3}

Totalt areal:

A = A_{B C D} + A_{A B D} = 24 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} = 32 \sqrt{3} \approx 55,4 a . e .

Se samme GeoGebra CAS-utklipp over for kontroll av delarealene.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2017, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Cosinussetningen, Sinussetningen, Trigonometri, Areal og omkrets

Eksakt omkrets og areal til firkant ved cosinussetningen og trekantoppdeling

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Eksakt omkrets og areal til firkant ved cosinussetningen og trekantoppdeling

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Eksakt omkrets og areal til firkant ved cosinussetningen og trekantoppdeling

Eksakt omkrets og areal til firkant ved cosinussetningen og trekantoppdeling

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer