Nullpunktene finner vi ved å løse $f(x)=0$:

I intervallet $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}]$ gir dette $x=0$ og $x=\pi$.

Grafen til $f$ (med nullpunktene i $\text{rødt}$, toppunktet i $\text{grønt}$ og verdiene i endepunktene i $\text{blått}$):

Vi deriverer $f(x)=3{(\sin x)}^3$ med kjerneregelen:

Siden ${(\sin x)}^2\ge 0$ for alle $x$, er fortegnet til $f^{\prime }(x)$ det samme som fortegnet til $\cos x$, bortsett fra der $\sin x=0$ (der er $f^{\prime }(x)=0$ uansett fortegnet til $\cos x$).

$f^{\prime }(x)=0$ når $\sin x=0$ (dvs. $x=0$ eller $x=\pi$) eller $\cos x=0$ (dvs. $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ eller $x={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$).

$f^{\prime }(x)$ skifter fortegn fra $+$ til $-$ i $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, så dette er et toppunkt: $({\displaystyle \frac{\pi }{2}},f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right))=({\displaystyle \frac{\pi }{2}},3)$.

I $x=0$ og $x=\pi$ er $f^{\prime }(x)=0$, men fortegnet skifter ikke (positivt på begge sider av $x=0$, negativt på begge sider av $x=\pi$). Dette er terrassepunkter: $(0,0)$ og $(\pi ,0)$.

$f$ er voksende på $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ og avtagende på $[{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}]$, så funksjonen har ingen bunnpunkt i det indre av intervallet — de laveste funksjonsverdiene, $f(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=f\left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right)=-3$, oppstår i endepunktene av definisjonsmengden.

Vi bruker identiteten ${(\sin x)}^2=1-{(\cos x)}^2$ til å skrive om integranden:

Da blir

der vi i det andre integralet har brukt substitusjonen $u=\cos x$, $\mathrm{d}u=-\sin x\mathrm{d}x$.

Sammenlignet med $a{(\cos x)}^3+b\cos x+c$ gir dette $\underline{\underline{a=1}}$ og $\underline{\underline{b=-3}}$.

Kontrollert med CAS (linje 1):

Innenfor definisjonsmengden $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}]$ er $f(x)\ge 0$ kun på intervallet $[0,\pi ]$ (der $\sin x\ge 0$). Arealet mellom grafen og $x$-aksen er derfor

Kontrollert med CAS (linje 2 i skjermbildet over).

Arealet er $\underline{\underline{A=4}}$ (arealenheter).