Vi tegner grafen til $f(x)=2\cdot {(\sin x)}^2$ for $x\in [0,2\pi ⟩$ med GeoGebra.

Grafen viser at $f$ svinger mellom $0$ og $2$, med bunnpunkter i $x=0,\pi ,2\pi$ og toppunkter i $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$.

Fra grafen leser vi av at $f$ er en sinuskurve med

• Toppverdi $2$ og bunnverdi $0$, som gir amplitude $A={\displaystyle \frac{2-0}{2}}=1$ og likevektslinje $y={\displaystyle \frac{2+0}{2}}=1$.
• Periode $p=\pi$ (grafen gjentar seg fra $x=0$ til $x=\pi$), som gir $k={\displaystyle \frac{2\pi }{p}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\pi }}=2$.
• Første toppunkt i $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. En vanlig sinuskurve $\sin (kx)$ har toppunkt når $kx={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, altså i $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ dersom $k=2$. Grafen til $f$ har toppunktet forskjøvet til $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, altså forskjøvet ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ mot høyre i forhold til $\sin (2x)$, som tilsvarer en fase $\phi =2\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ i uttrykket $\sin (2x-\phi )$.

Dette gir den tilnærmede avlesningen

Vi bruker formelen $\sin (u-v)=\sin u\cos v-\cos u\sin v$ med $u=2x$ og $v={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$:

Dermed er

Vi bruker så formelen for cosinus til dobbel vinkel, $\cos (2x)=1-2\cdot {(\sin x)}^2$:

Dette viser at

Avlesningen i b) stemmer altså eksakt, ikke bare tilnærmet.

Fra b) og c) vet vi at $f(x)=\sin (2x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})+1$. Vi deriverer:

Kontrollert med CAS:

Topp- og bunnpunkter: $f^{\prime }(x)=0$ gir $\sin (2x)=0$, altså $2x=n\pi$, det vil si

I intervallet $⟨3\pi ,4\pi ⟩$ må $6<n<8$, som gir det eneste heltallet $n=7$:

Siden $n=7$ er oddetall, er dette et toppunkt (som i b/c-formelen svarer til $\sin (2x-\pi /2)=1$). Fra CAS-utregningen er $f\left({\displaystyle \frac{7\pi }{2}}\right)=2$. Toppunktet er

De to naboverdiene $n=6$ og $n=8$ gir $x=3\pi$ og $x=4\pi$, som er nettopp endepunktene til det åpne intervallet og derfor ikke er med. Bunnpunktene til $f$ ligger nemlig alltid i $x=k\pi$, som her faller sammen med de utelatte endepunktene — det finnes derfor ikke noe bunnpunkt i $⟨3\pi ,4\pi ⟩$.

Vendepunkter: $f^{\prime \prime }(x)=0$ gir $\cos (2x)=0$, altså $2x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi$, det vil si

I intervallet $⟨3\pi ,4\pi ⟩$ må $\mathrm{5,5}<k<\mathrm{7,5}$, som gir heltallene $k=6$ og $k=7$:

Siden $f^{\prime \prime }$ skifter fortegn i hvert nullpunkt (cosinus har enkle nullpunkter), er begge ekte vendepunkter. Fra CAS-utregningen er $f\left({\displaystyle \frac{13\pi }{4}}\right)=f\left({\displaystyle \frac{15\pi }{4}}\right)=1$. Vendepunktene er

Oppsummert på $⟨3\pi ,4\pi ⟩$: toppunkt $\underline{\underline{({\displaystyle \frac{7\pi }{2}},2)}}$, vendepunkter $\underline{\underline{({\displaystyle \frac{13\pi }{4}},1)}}$ og $\underline{\underline{({\displaystyle \frac{15\pi }{4}},1)}}$, og ingen bunnpunkt.