Differensiallikning med separasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En differensiallikning er gitt ved

y^{'} = (\sin x) \cdot y^{2}

Bestem den generelle løsningen av differensiallikningen.

Bestem den løsningen av differensiallikningen som er slik at $y (π) = 1$ .

Fasit

$y = \frac{1}{\cos x + C}$

$y = \frac{1}{\cos x + 2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi separerer variablene ved å samle alle $y$ -ledd på venstre side og alle $x$ -ledd på høyre side.

y^{'} = (\sin x) \cdot y^{2} \Rightarrow \frac{1}{y^{2}} d y = \sin x d x

Vi integrerer begge sider.

\int y^{- 2} d y = \int \sin x d x

- \frac{1}{y} = - \cos x + C_{1}

Vi multipliserer med $- 1$ og lar $C = - C_{1}$ være en ny konstant.

\frac{1}{y} = \cos x + C \Rightarrow y = \frac{1}{\cos x + C}

Vi setter inn $x = π$ og $y = 1$ for å bestemme $C$ .

1 = \frac{1}{\cos π + C} = \frac{1}{- 1 + C}

- 1 + C = 1 \Rightarrow C = 2

Den partikulære løsningen blir dermed

y = \frac{1}{\cos x + 2}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2018, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Differensiallikning, Integrasjon

Innstillinger