Differensiallikning for sprinterfart og distanse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Farten $v$ til en sprinter måles i meter per sekund og er en funksjon av tiden $t$ . Tiden $t$ er målt i sekunder etter start. Farten $v$ er en løsning av differensiallikningen

v^{'} = 12,0 - 1,15 \cdot v

Kalkulator

Løs differensiallikningen og bestem $v (t)$ når du får vite at $v (0) = 0$ .

Kalkulator

Strekningen $s$ måles i meter og er definert ved

s^{'} = v og s (0) = 0

Bestem en formel for $s (t)$ .

Oppsett for hånd

Hvor lang tid vil sprinteren bruke på 100 m, ifølge modellen ovenfor?

Fasit

$v (t) = \frac{240}{23} (1 - e^{- 1,15 t})$

$s (t) = \frac{240}{23} t + \frac{4800}{529} (e^{- 1,15 t} - 1)$

$t \approx 10,45 s$

LøsningsforslagKI-generert

Differensiallikningen

v^{'} = 12,0 - 1,15 v

er en lineær, separabel førsteordens differensiallikning. Vi separerer variablene:

\frac{d v}{12,0 - 1,15 v} = d t

Integrasjon på begge sider gir

- \frac{1}{1,15} \ln | 12,0 - 1,15 v | = t + C_{1}

\ln | 12,0 - 1,15 v | = - 1,15 t + C_{2}

12,0 - 1,15 v = C \cdot e^{- 1,15 t}

v (t) = \frac{12,0}{1,15} - \frac{C}{1,15} \cdot e^{- 1,15 t} = \frac{240}{23} - K \cdot e^{- 1,15 t}

der $\frac{12,0}{1,15} = \frac{240}{23}$ er den stasjonære (grense-)farten, og $K$ er en konstant som bestemmes av initialbetingelsen $v (0) = 0$ :

0 = \frac{240}{23} - K \Rightarrow K = \frac{240}{23}

Dermed er

v (t) = \frac{240}{23} (1 - e^{- 1,15 t})

Dette er stadfestet i GeoGebra CAS (se skjermbilde, linje 1), der $v (t) = - 10,43478 e^{- 1,15 t} + 10,43478$ , som stemmer med $\frac{240}{23} \approx 10,435$ .

Strekningen finner vi ved å integrere farten:

s (t) = \int v (t) d t = \int \frac{240}{23} (1 - e^{- 1,15 t}) d t = \frac{240}{23} t + \frac{240}{23 \cdot 1,15} e^{- 1,15 t} + C

Siden $\frac{240}{23 \cdot 1,15} = \frac{4800}{529}$ , får vi

s (t) = \frac{240}{23} t + \frac{4800}{529} e^{- 1,15 t} + C

Initialbetingelsen $s (0) = 0$ gir

0 = \frac{4800}{529} + C \Rightarrow C = - \frac{4800}{529}

Dermed er

s (t) = \frac{240}{23} t + \frac{4800}{529} (e^{- 1,15 t} - 1)

Dette stemmer med GeoGebra CAS (skjermbilde, linje 2): $s (t) = 10,43478 t + 9,07372 e^{- 1,15 t} - 9,07372$ , der $9,07372 \approx \frac{4800}{529}$ .

Vi skal løse $s (t) = 100$ . Dette er en transcendent likning (blanding av $t$ og $e^{- 1,15 t}$ ) som ikke lar seg løse eksakt for hånd, så vi løser den numerisk i GeoGebra CAS. Vi definerer hjelpefunksjonen $g (t) = s (t) - 100$ og finner nullpunktet på et fornuftig intervall (skjermbilde, linje 3–4):

t \approx 10,45

GeoGebra CAS: v(t), s(t) og numerisk løsning av s(t)=100

Ifølge modellen bruker sprinteren altså omtrent $t \approx 10,45 s$ på å løpe 100 meter.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2012, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Integrasjon

Differensiallikning for sprinterfart og distanse

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Differensiallikning for sprinterfart og distanse

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Differensiallikning for sprinterfart og distanse

Differensiallikning for sprinterfart og distanse

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer