Differensiallikning for lekkende vanntank

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sylinderformet tank med vannhøyde y og lekkasjestråle

Vann lekker ut fra et hull i bunnen av en sylinderformet tank med en fart som til enhver tid er proporsjonal med kvadratroten av vannhøyden $y$ i tanken.

Sett opp en differensiallikning som svarer til opplysningene ovenfor.

Ved tiden $t = 0$ er vannhøyden 100 cm. Etter 2 timer er vannhøyden 81 cm.

Hvor lang tid vil det gå før tanken er tom?

Fasit

$y^{'} = - k \sqrt{y}, k > 0$

$t = 20 timer$

LøsningsforslagKI-generert

Farten vannet lekker ut med, er $- y^{'}$ (vannhøyden $y$ avtar, så $y^{'}$ er negativ). Denne farten er proporsjonal med $\sqrt{y}$ , altså

- y^{'} = k \sqrt{y}

for en positiv konstant $k$ . Differensiallikningen er dermed

y^{'} = - k \sqrt{y}, k > 0

Vi løser differensiallikningen fra a) ved separasjon av de variable. Siden $y > 0$ mens tanken har vann, kan vi dele på $\sqrt{y}$ :

\frac{1}{\sqrt{y}} d y = - k d t

Vi integrerer på begge sider:

\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int - k d t

2 \sqrt{y} = - k t + C

Bestemmer $C$ : Ved $t = 0$ er $y = 100$ , så

2 \sqrt{100} = C \Rightarrow C = 20

Dermed er

2 \sqrt{y} = - k t + 20

Bestemmer $k$ : Ved $t = 2$ er $y = 81$ , så

2 \sqrt{81} = - 2 k + 20

18 = - 2 k + 20

k = 1

Løsningen er dermed

2 \sqrt{y} = - t + 20

\sqrt{y} = 10 - \frac{t}{2}

y (t) = {(10 - \frac{t}{2})}^{2}

Finner når tanken er tom ( $y = 0$ ):

10 - \frac{t}{2} = 0

t = 20

Tanken er tom etter $t = 20 timer$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2019, del 1, oppgave 9
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Modellering

Differensiallikning for lekkende vanntank

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Differensiallikning for lekkende vanntank

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Differensiallikning for lekkende vanntank

Differensiallikning for lekkende vanntank

Lov på eksamen

Temaer