Differensiallikning andre orden verifisering

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vis at $f (x) = 5 e^{- \frac{x}{3}} \cdot \sin (2 x)$ er en løsning av differensiallikningen

9 y^{''} + 6 y^{'} + 37 y = 0, y (0) = 0 og y^{'} (0) = 10

Fasit

$f (0) = 0$ , $f^{'} (0) = 10$ og $9 f^{''} + 6 f^{'} + 37 f = 0$ for alle $x$ $\Rightarrow f er en løsning$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal vise at $f (x) = 5 e^{- \frac{x}{3}} \cdot \sin (2 x)$ oppfyller både differensiallikningen og de to startbetingelsene.

Startbetingelser

Vi setter $x = 0$ inn i $f$ :

f (0) = 5 e^{0} \cdot \sin (0) = 5 \cdot 1 \cdot 0 = 0

som stemmer med $y (0) = 0$ .

Vi deriverer $f$ med produktregelen:

f^{'} (x) = 5 \cdot (- \frac{1}{3}) e^{- \frac{x}{3}} \cdot \sin (2 x) + 5 e^{- \frac{x}{3}} \cdot 2 \cos (2 x) = 5 e^{- \frac{x}{3}} (- \frac{1}{3} \sin (2 x) + 2 \cos (2 x))

Da blir

f^{'} (0) = 5 \cdot 1 \cdot (0 + 2) = 10

som stemmer med $y^{'} (0) = 10$ .

Differensiallikningen

Vi deriverer $f^{'} (x)$ på nytt for å finne $f^{''} (x)$ :

f^{''} (x) = 5 e^{- \frac{x}{3}} (- \frac{35}{9} \sin (2 x) - \frac{4}{3} \cos (2 x))

Dette er verifisert i CAS, se utklippet under (linje 3 og 5 viser $g (x) = f^{'} (x)$ og $h (x) = f^{''} (x)$ ):

CAS-verifisering av f, f' og f''

Vi setter $f$ , $f^{'}$ og $f^{''}$ inn i venstresiden av differensiallikningen $9 y^{''} + 6 y^{'} + 37 y$ :

\begin{matrix} 9 f^{''} (x) + 6 f^{'} (x) + 37 f (x) & = 5 e^{- \frac{x}{3}} [\underset{= 0}{\underset{⏟}{(- 35 - 2 + 37)}} \sin (2 x) + \underset{= 0}{\underset{⏟}{(- 12 + 12)}} \cos (2 x)] \\ = 5 e^{- \frac{x}{3}} \cdot 0 = 0 \end{matrix}

CAS (linje 6 i utklippet) bekrefter det samme: Forenkle(9h(x) + 6g(x) + 37f(x)) gir $0$ .

Dermed oppfyller $f$ både differensiallikningen $9 y^{''} + 6 y^{'} + 37 y = 0$ og startbetingelsene $y (0) = 0$ og $y^{'} (0) = 10$ , så

f (x) = 5 e^{- \frac{x}{3}} \cdot \sin (2 x) er en løsning av differensiallikningen

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2015, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Differensiallikning, Eksponentialfunksjon, Trigonometri, Bevis

Innstillinger