Vi bruker produktregelen ${(u\cdot v)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$ med $u=x^2$ og $v=\ln x$:

Vi utfører polynomdivisjonen ledd for ledd:

Divisjonen går opp, så

Vi kan ikke sette inn $x=8$ direkte, siden både teller og nevner blir $0$. Vi faktoriserer i stedet:

Vi bruker at $\lg (a\cdot b)=\lg a+\lg b$ og $\lg \left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)=\lg a-\lg b$:

1) Topp- og bunnpunkt

Vi bruker produktregelen på $f(x)=x\cdot e^{-x}$:

Vi finner mulige topp- eller bunnpunkter ved å sette $f^{\prime }(x)=0$. Siden $e^{-x}>0$ for alle $x$, må

Vi undersøker fortegnet til $f^{\prime }(x)$:

• For $x<1$ er $(1-x)>0$, så $f^{\prime }(x)>0$ (funksjonen vokser).
• For $x>1$ er $(1-x)<0$, så $f^{\prime }(x)<0$ (funksjonen avtar).

Dermed er $x=1$ et toppunkt. Vi finner $y$-verdien:

Grafen til $f$ har et toppunkt $(1,\mathrm{0,37})$ og ingen bunnpunkt.

2) Vendepunkt

Vi deriverer $f^{\prime }(x)=(1-x)\cdot e^{-x}$ videre med produktregelen:

Vi setter $f^{\prime \prime }(x)=0$. Siden $e^{-x}>0$, må

Fortegnet til $f^{\prime \prime }(x)$ skifter:

• For $x<2$ er $f^{\prime \prime }(x)<0$ (grafen er konkav/vender den hule siden ned).
• For $x>2$ er $f^{\prime \prime }(x)>0$ (grafen er konveks/vender den hule siden opp).

Siden $f^{\prime \prime }(x)$ skifter fortegn i $x=2$, er dette et vendepunkt. Vi finner $y$-verdien:

Grafen til $f$ har vendepunkt $(2,\mathrm{0,28})$.