Derivasjon med produktregel og kvotientregel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = 3 x \cdot \sin x

g (x) = \frac{\sin (2 x)}{\cos x}

Fasit

$f^{'} (x) = 3 \sin x + 3 x \cos x$

$g^{'} (x) = 2 \cos x$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker produktregelen ${(u \cdot v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ med

u = 3 x, u^{'} = 3, v = \sin x, v^{'} = \cos x

Da får vi

f^{'} (x) = 3 \cdot \sin x + 3 x \cdot \cos x = 3 \sin x + 3 x \cos x

Vi bruker kvotientregelen ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ med

u = \sin (2 x), u^{'} = 2 \cos (2 x), v = \cos x, v^{'} = - \sin x

Da får vi

g^{'} (x) = \frac{2 \cos (2 x) \cdot \cos x - \sin (2 x) \cdot (- \sin x)}{\cos^{2} x} = \frac{2 \cos (2 x) \cos x + \sin (2 x) \sin x}{\cos^{2} x}

Vi bruker dobbeltvinkelformlene $\cos (2 x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ og $\sin (2 x) = 2 \sin x \cos x$ til å forenkle telleren:

2 \cos (2 x) \cos x + \sin (2 x) \sin x = 2 (\cos^{2} x - \sin^{2} x) \cos x + 2 \sin x \cos x \cdot \sin x

= 2 \cos^{3} x - 2 \sin^{2} x \cos x + 2 \sin^{2} x \cos x = 2 \cos^{3} x

Dermed blir

g^{'} (x) = \frac{2 \cos^{3} x}{\cos^{2} x} = 2 \cos x

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2022, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Trigonometri

Innstillinger