Derivasjon med produktregel og kvadratrot av 4x i andre minus 5

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = 3 x^{3} - 4 x + \frac{1}{x}

g (x) = 3 x^{2} \cdot \ln x

h (x) = \sqrt{4 x^{2} - 5}

Fasit

$f^{'} (x) = 9 x^{2} - 4 - \frac{1}{x^{2}}$

$g^{'} (x) = 6 x \ln x + 3 x$

$h^{'} (x) = \frac{4 x}{\sqrt{4 x^{2} - 5}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver om $\frac{1}{x}$ som $x^{- 1}$ og bruker potensregelen $\frac{d}{d x} x^{n} = n \cdot x^{n - 1}$ på hvert ledd:

f (x) = 3 x^{3} - 4 x + x^{- 1}

f^{'} (x) = 3 \cdot 3 x^{2} - 4 \cdot 1 + (- 1) \cdot x^{- 2} = 9 x^{2} - 4 - \frac{1}{x^{2}}

$f^{'} (x) = 9 x^{2} - 4 - \frac{1}{x^{2}}$

Funksjonen $g (x) = 3 x^{2} \cdot \ln x$ er et produkt av $u (x) = 3 x^{2}$ og $v (x) = \ln x$ . Produktregelen sier at ${(u \cdot v)}^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ .

Vi finner de deriverte av hver faktor:

u^{'} (x) = 6 x v^{'} (x) = \frac{1}{x}

Så setter vi inn i produktregelen:

g^{'} (x) = 6 x \cdot \ln x + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 6 x \ln x + 3 x

$g^{'} (x) = 6 x \ln x + 3 x$

Funksjonen $h (x) = \sqrt{4 x^{2} - 5}$ er en sammensatt funksjon, og vi bruker kjerneregelen. Vi skriver om roten som en potens:

h (x) = {(4 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}

Med ytre funksjon $y = u^{\frac{1}{2}}$ og indre funksjon $u = 4 x^{2} - 5$ blir

y^{'} = \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}} u^{'} = 8 x

Kjerneregelen gir da

h^{'} (x) = \frac{1}{2} {(4 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 8 x = \frac{4 x}{\sqrt{4 x^{2} - 5}}

$h^{'} (x) = \frac{4 x}{\sqrt{4 x^{2} - 5}}$

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2021, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 6
Temaer: Derivasjon, Produktregelen, Kjerneregelen

Derivasjon med produktregel og kvadratrot av 4x i andre minus 5

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Derivasjon med produktregel og kvadratrot av 4x i andre minus 5

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Derivasjon med produktregel og kvadratrot av 4x i andre minus 5

Derivasjon med produktregel og kvadratrot av 4x i andre minus 5

Lov på eksamen

Temaer