Vi deriverer ledd for ledd. For $2x^3$ bruker vi potensregelen ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}{x}^n=n{x}^{n-1}$, og for $\ln x$ bruker vi at ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\ln x={\displaystyle \frac{1}{x}}$:

$\underline{\underline{f^{\prime }(x)=6x^2-{\displaystyle \frac{1}{x}}}}$

$g(x)=x\cdot e^{-2x^2}$ er et produkt av $u(x)=x$ og $v(x)=e^{-2x^2}$. Vi bruker produktregelen ${(uv)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$.

Vi trenger $v^{\prime }(x)$. Med kjerneregelen på $e^{-2x^2}$, der kjernen er $-2x^2$ med derivert $-4x$:

Med $u^{\prime }(x)=1$ setter vi inn i produktregelen:

$\underline{\underline{g^{\prime }(x)=e^{-2x^2}(1-4x^2)}}$

Vi skriver om $h(x)={\displaystyle \frac{2x+2}{e^x}}$ som et produkt, $h(x)=(2x+2)\cdot e^{-x}$, og bruker produktregelen med $u(x)=2x+2$ og $v(x)=e^{-x}$.

Vi har $u^{\prime }(x)=2$ og, ved kjerneregelen på $e^{-x}$ (kjerne $-x$ med derivert $-1$), $v^{\prime }(x)=-e^{-x}$. Da blir

$\underline{\underline{h^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{2x}{e^x}}}}$