Derivasjon med eksponent rotuttrykk og kvotient

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = x^{2} + e^{x}

g (x) = x^{3} \cdot \sqrt{2 x - 1}

h (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}

Fasit

$f^{'} (x) = 2 x + e^{x}$

$g^{'} (x) = \frac{x^{2} (7 x - 3)}{\sqrt{2 x - 1}}$

$h^{'} (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker sum- og potensregelen, samt at $\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}$ .

f^{'} (x) = 2 x + e^{x}

Vi skriver $g (x) = x^{3} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ og bruker produktregelen ${(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ med $u = x^{3}$ og $v = {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Deriverer $u$ med potensregelen, og $v$ med kjerneregelen (indre derivert av $2 x - 1$ er $2$ ):

u^{'} = 3 x^{2} v^{'} = \frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}

Setter inn i produktregelen:

g^{'} (x) = 3 x^{2} \cdot \sqrt{2 x - 1} + x^{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}

Setter på felles brøkstrek med $\sqrt{2 x - 1}$ i nevner:

g^{'} (x) = \frac{3 x^{2} (2 x - 1) + x^{3}}{\sqrt{2 x - 1}} = \frac{6 x^{3} - 3 x^{2} + x^{3}}{\sqrt{2 x - 1}} = \frac{7 x^{3} - 3 x^{2}}{\sqrt{2 x - 1}}

Faktoriserer ut $x^{2}$ i telleren:

g^{'} (x) = \frac{x^{2} (7 x - 3)}{\sqrt{2 x - 1}}

Vi bruker kvotientregelen ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ med $u = x^{3}$ og $v = x^{2} - 1$ .

u^{'} = 3 x^{2} v^{'} = 2 x

Setter inn:

h^{'} (x) = \frac{3 x^{2} (x^{2} - 1) - x^{3} \cdot 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} = \frac{3 x^{4} - 3 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 1)}^{2}} = \frac{x^{4} - 3 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

Faktoriserer ut $x^{2}$ i telleren:

h^{'} (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2020, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen

Derivasjon med eksponent rotuttrykk og kvotient

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Derivasjon med eksponent rotuttrykk og kvotient

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Derivasjon med eksponent rotuttrykk og kvotient

Derivasjon med eksponent rotuttrykk og kvotient

Lov på eksamen

Temaer