1. $f(x)=2\sin (2x)$

Vi bruker kjerneregelen med indre funksjon $u=2x$, $u^{\prime }=2$:

2. $g(x)=x^2\cdot \cos (2x)$

Vi bruker produktregelen med $u=x^2$, $u^{\prime }=2x$ og $v=\cos (2x)$, $v^{\prime }=-2\sin (2x)$ (kjerneregel):

3. $h(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{x^2-4x}={\displaystyle \frac{1}{2}}{(x^2-4x)}^{\frac{1}{2}}$

Vi bruker kjerneregelen med indre funksjon $u=x^2-4x$, $u^{\prime }=2x-4$:

1. ${\displaystyle \int x\cdot e^x\mathrm{d}x}$

Vi bruker delvis integrasjon med $u=x$, $\mathrm{d}v=e^x\mathrm{d}x$, altså $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ og $v=e^x$:

2. ${\displaystyle \int \frac{5x+3}{x^2-9}\mathrm{d}x}$

Vi faktoriserer nevneren, $x^2-9=(x-3)(x+3)$, og setter opp partialbrøkoppspalting:

Multipliserer med fellesnevner:

Setter $x=3$: $18=6A\Rightarrow A=3$

Setter $x=-3$: $-12=-6B\Rightarrow B=2$

Dermed er

Integralet ${\displaystyle {\int }_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x}$ er arealet under kurven $y=\sqrt{1-x^2}$ fra $x=-1$ til $x=1$.

Kurven $y=\sqrt{1-x^2}$ er den øvre halvdelen av sirkelen $x^2+y^2=1$ med sentrum i origo og radius $1$ (siden $y\ge 0$). Integralet fra $-1$ til $1$ dekker derfor nøyaktig den øvre halve sirkelskiven.

Arealet av en hel sirkel med radius $1$ er $\pi \cdot 1^2=\pi$, så halve sirkelen har areal

1. $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$ betyr at vektorene står vinkelrett på hverandre (eller at minst én av dem er nullvektoren). Prikkproduktet er $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos (v)$, og dette er null når $\cos (v)=0$, altså når vinkelen $v$ mellom vektorene er $90°$.

Figur: to piler som utgår fra samme punkt og danner en rett vinkel ($90°$) mellom seg.

2. $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ betyr at vektorene er parallelle, altså peker i samme eller motsatt retning (eller at minst én av dem er nullvektoren). Kryssproduktet har lengde $|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin (v)$, og dette er null når $\sin (v)=0$, altså når $v=0°$ eller $v=180°$.

Figur: to piler langs samme linje, enten med samme retning eller med motsatt retning.

Punktene er $A(\mathrm{1,1},-1)$, $B(2,-\mathrm{1,3})$ og $C(\mathrm{3,2,2})$.

Vi finner først de to vektorene:

Kryssproduktet:

For å vise at $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ står vinkelrett på begge vektorene, viser vi at prikkproduktene er null:

Begge prikkproduktene er null, så $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ står vinkelrett på både $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$, som skulle vises. $■$

Vi skal bevise ved induksjon at

for alle naturlige tall $n\ge 1$.

Basissteg ($n=1$):

Venstre side: $1$

Høyre side: ${\displaystyle \frac{4^1-1}{3}}={\displaystyle \frac{3}{3}}=1$

Formelen stemmer for $n=1$.

Induksjonssteg: Anta at formelen er sann for $n=k$, altså at

Vi skal vise at formelen da også er sann for $n=k+1$. Vi legger til det neste leddet, $4^k$, på begge sider:

Dette er formelen med $n=k+1$, så formelen er sann for $n=k+1$ når den er sann for $n=k$.

Siden formelen er sann for $n=1$, og siden den er sann for $n=k+1$ når den er sann for $n=k$, er formelen sann for alle naturlige tall $n\ge 1$ ved induksjonsprinsippet. $■$