Derivasjon, integraler og differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonen gitt ved $f (x) = x^{2} \cdot \cos (3 x)$

Bestem integralene

\int 5 x \cdot e^{2 x} d x

\int \frac{6 x}{x^{2} - 1} d x

Løs differensiallikningen

y^{'} - 2 y = 3 når y (0) = 2

1) Bruk formlene

\cos (u - v) = \cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v

\cos (u + v) = \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v

til å vise at

\cos u \cdot \cos v = \frac{1}{2} (\cos (u - v) + \cos (u + v))

Bruk 1) til å finne et uttrykk for ${(\cos x)}^{2}$ . Bestem integralet

\int {(\cos x)}^{2} d x

I denne oppgaven får du bruk for den generelle sammenhengen

\int_{a}^{b} F^{'} (x) d x = F (b) - F (a)

Tabellen nedenfor viser noen funksjonsverdier for funksjonene $f$ , $g$ og $h$ .

$x$	$f (x)$	$g (x)$	$h (x)$
$- 3$	$0$	$6$	$6$
$1$	$- 2$	$- \frac{7}{2}$	$- 4$
$2$	$24$	$28$	$22$

Det opplyses i tillegg at $f (x) = g^{'} (x)$ og $h (x) = g^{''} (x)$ .

Bruk tabellen og tilleggsopplysningene til å finne integralene

1) $\int_{- 3}^{2} f (x) d x$

\int_{- 3}^{1} h (x) d x

Fasit

$f^{'} (x) = 2 x \cos (3 x) - 3 x^{2} \sin (3 x)$

1) $\frac{5}{2} x e^{2 x} - \frac{5}{4} e^{2 x} + C$ 2) $3 \ln | x^{2} - 1 | + C$

$y = \frac{7}{2} e^{2 x} - \frac{3}{2}$

1) Se utledning 2) $\int {(\cos x)}^{2} d x = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

1) $22$ 2) $- 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker produktregelen på $f (x) = x^{2} \cdot \cos (3 x)$ , med $u = x^{2}$ og $v = \cos (3 x)$ :

u^{'} = 2 x v^{'} = - 3 \sin (3 x)

f^{'} (x) = u^{'} v + u v^{'} = 2 x \cos (3 x) + x^{2} \cdot (- 3 \sin (3 x))

f^{'} (x) = 2 x \cos (3 x) - 3 x^{2} \sin (3 x)

1) Vi bruker delvis integrasjon, $\int u^{'} v d x = u v - \int u v^{'} d x$ , med $u^{'} = e^{2 x}$ og $v = 5 x$ :

u = \frac{1}{2} e^{2 x} v^{'} = 5

\int 5 x \cdot e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 5 x - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 5 d x = \frac{5}{2} x e^{2 x} - \frac{5}{2} \int e^{2 x} d x

= \frac{5}{2} x e^{2 x} - \frac{5}{4} e^{2 x} + C

\int 5 x \cdot e^{2 x} d x = \frac{5}{2} x e^{2 x} - \frac{5}{4} e^{2 x} + C

2) Vi ser at telleren er (nesten) den deriverte av nevneren: $\frac{d}{d x} (x^{2} - 1) = 2 x$ . Vi setter $u = x^{2} - 1$ , slik at $d u = 2 x d x$ , altså $6 x d x = 3 d u$ :

\int \frac{6 x}{x^{2} - 1} d x = \int \frac{3}{u} d u = 3 \ln | u | + C

\int \frac{6 x}{x^{2} - 1} d x = 3 \ln | x^{2} - 1 | + C

Differensiallikningen $y^{'} - 2 y = 3$ er en 1. ordens lineær differensiallikning på formen $y^{'} + p (x) y = q (x)$ med $p (x) = - 2$ og $q (x) = 3$ (begge konstante).

Homogen løsning. Den homogene likningen $y^{'} - 2 y = 0$ har løsning

y_{h} = C \cdot e^{2 x}

Partikulær løsning. Siden høyresiden er konstant, prøver vi med en konstant partikulærløsning $y_{p} = k$ . Da er $y_{p}^{'} = 0$ , og innsatt i likningen:

0 - 2 k = 3 \Rightarrow k = - \frac{3}{2}

Generell løsning.

y = C \cdot e^{2 x} - \frac{3}{2}

Bruker startbetingelsen $y (0) = 2$ :

C \cdot e^{0} - \frac{3}{2} = 2 \Rightarrow C - \frac{3}{2} = 2 \Rightarrow C = \frac{7}{2}

y = \frac{7}{2} e^{2 x} - \frac{3}{2}

1) Vi legger sammen de to formlene:

\cos (u - v) + \cos (u + v) = (\cos u \cos v + \sin u \sin v) + (\cos u \cos v - \sin u \sin v) = 2 \cos u \cos v

Vi deler begge sider på $2$ :

\cos u \cdot \cos v = \frac{1}{2} (\cos (u - v) + \cos (u + v))

Dette var det som skulle vises.

2) Vi setter $u = v = x$ i formelen fra 1):

\cos x \cdot \cos x = \frac{1}{2} (\cos (x - x) + \cos (x + x))

(\cos x)^{2} = \frac{1}{2} (\cos 0 + \cos 2 x) = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 x)

Vi integrerer dette uttrykket, som er langt enklere enn å integrere ${(\cos x)}^{2}$ direkte:

\int (\cos x)^{2} d x = \int \frac{1}{2} (1 + \cos 2 x) d x = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin 2 x) + C

\int {(\cos x)}^{2} d x = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2 x}{4} + C

Vi bruker at $\int_{a}^{b} F^{'} (x) d x = F (b) - F (a)$ , altså at et bestemt integral av en deriverte kan regnes ut med verdiene til den opprinnelige funksjonen i tabellen.

1) Siden $f (x) = g^{'} (x)$ , er $g$ en antiderivert av $f$ :

\int_{- 3}^{2} f (x) d x = [g (x)]_{- 3}^{2} = g (2) - g (- 3) = 28 - 6 = 22

\int_{- 3}^{2} f (x) d x = 22

2) Siden $h (x) = g^{''} (x) = f^{'} (x)$ , er $f$ en antiderivert av $h$ :

\int_{- 3}^{1} h (x) d x = [f (x)]_{- 3}^{1} = f (1) - f (- 3) = - 2 - 0 = - 2

\int_{- 3}^{1} h (x) d x = - 2

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2010, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Integrasjon, Differensiallikning, Trigonometri, Delvis integrasjon, Bestemt integral

Derivasjon, integraler og differensiallikning

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Derivasjon, integraler og differensiallikning

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Derivasjon, integraler og differensiallikning

Derivasjon, integraler og differensiallikning

Lov på eksamen

Temaer