1. Vi bruker produktregelen på $f(x)=x^2\cdot \ln x$ med $u=x^2$ og $v=\ln x$:

2. Vi bruker kjerneregelen på $g(x)={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x$:

Dette kan også skrives $g^{\prime }(x)=2\sin 2x$ ved bruk av den dobbelte vinkelen.

1. Vi substituerer $u=x^2+3$, som gir $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$:

($x^2+3>0$ for alle $x$, så absoluttverditegnet kan sløyfes.)

2. Grafen til $f$ er sammensatt av rette linjestykker, så vi deler integralet opp i trekanter og bruker arealformelen $\frac{1}{2}\cdot \text{grunnlinje}\cdot \text{høyde}$:

   • Fra $x=0$ til $x=1$: trekant med grunnlinje $1$ og høyde $2$, areal $=1$ (over $x$-aksen).
   • Fra $x=1$ til $x=2$: trekant med grunnlinje $1$ og høyde $2$, areal $=1$ (over $x$-aksen).
   • Fra $x=2$ til $x=3$: trekant med grunnlinje $1$ og høyde $1$, areal $=\mathrm{0,5}$ (under $x$-aksen, telles negativt).

Vi løser $y^{\prime }-2y^2=0$ med $y(0)=\frac{1}{2}$ ved separasjon av de variable:

Integrerer på begge sider:

Setter inn $x=0$, $y=\frac{1}{2}$:

Dette gir

$\underline{\underline{y={\displaystyle \frac{1}{2-2x}}}}$

Vi finner vektorene $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$:

1. Lengdene:

2. Skalarproduktet:

Kryssproduktet:

3. Vi setter inn og kontrollerer identiteten:

På den andre siden:

Begge sider er like, og identiteten er dermed vist: $\underline{\underline{306=306}}$