Vi bruker produktregelen, ${(u\cdot v)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, med $u=x^2$ og $v=\sin x$.

$\underline{\underline{f^{\prime }(x)=2x\sin x+x^2\cos x}}$

En vinkel målt i radianer er definert ut fra buelengden på enhetssirkelen (sirkel med radius $1$): vinkelen $v$ i radianer er lik lengden av sirkelbuen som vinkelen spenner over på enhetssirkelen.

Siden hele sirkelen har omkrets $2\pi \cdot 1=2\pi$, tilsvarer en hel omdreining på $360°$ nettopp $2\pi$ radianer. Dette gir sammenhengen

For å regne om fra grader til radianer multipliserer vi med ${\displaystyle \frac{\pi }{180}}$, og fra radianer til grader multipliserer vi med ${\displaystyle \frac{180}{\pi }}$.

Differensiallikningen $y^{\prime }+2y=3x$ er lineær av første orden. Vi løser den med integrerende faktor $e^{2x}$:

Venstre side er den deriverte av produktet $e^{2x}y$:

Vi integrerer begge sider. Høyre side krever delvis integrasjon med $u=3x$, $v^{\prime }=e^{2x}$, altså $u^{\prime }=3$, $v=\frac{1}{2}{e}^{2x}$:

Dermed er

Setter inn $y(0)=3$:

$\underline{\underline{y={\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{15}{4}}{e}^{-2x}}}$

1) Vi sjekker om $f(1)=0$:

Siden $f(1)=0$, er $(x-1)$ en faktor i $f(x)$ (faktorteoremet).

Vi utfører polynomdivisjon (eller setter opp $f(x)=(x-1)(x^2+ax+b)$ og sammenligner koeffisienter):

og $x^2-4=(x-2)(x+2)$, så

2) Med $f(x)=(x+2)(x-1)(x-2)$ setter vi opp delbrøksoppspaltingen med felles nevner $(x+2)(x-1)(x-2)$:

Vi regner ut telleren ledd for ledd:

Dette er nettopp telleren i det opprinnelige uttrykket, og nevneren $(x+2)(x-1)(x-2)=f(x)$. Dermed er

som vi skulle vise.

3) Ved hjelp av delbrøksoppspaltingen fra 2) blir integralet

$\underline{\underline{\ln |x+2|-\ln |x-1|+\ln |x-2|+C}}$

I en geometrisk rekke er kvotienten mellom to påfølgende ledd konstant, så ${\displaystyle \frac{a_2}{a_1}}={\displaystyle \frac{a_3}{a_2}}$, altså $a_2^2=a_1\cdot a_3$.

Kontroll: Da blir $a_1=1$, $a_2=4$, $a_3=16$, med konstant kvotient $k=4$. Rekken er geometrisk.

Vi skal bevise ved induksjon at

for alle $n\in \mathbb{N}$, der $S_n=a_1+a_{1}k+a_1{k}^2+\cdots +a_1{k}^{n-1}$.

Basissteg ($n=1$): $S_1=a_1$. Formelen gir

Formelen stemmer for $n=1$.

Induksjonssteg: Anta at formelen er sann for et vilkårlig $n$, altså at

Vi skal vise at formelen da også er sann for $n+1$. Siden $S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$, og leddet $a_{n+1}=a_1{k}^n$, får vi

Dette er nettopp formelen med $n$ erstattet av $n+1$. Siden formelen er sann for $n=1$, og sann for $n=1$ medfører sann for $n=2$, osv., er formelen sann for alle naturlige tall $n$ ved induksjonsprinsippet.