Vi deriverer ledd for ledd:

Vi setter på felles brøkstrek $x^2$:

som er det vi skulle vise.

1) $f(x)=3\ln (2x)$. Vi bruker kjerneregelen med indre funksjon $2x$, som har derivert $2$:

2) $g(x)=3x\cdot e^{x^2}$. Vi bruker produktregelen med $u=3x$ og $v=e^{x^2}$ (der $v^{\prime }=2x\cdot e^{x^2}$ fra kjerneregelen):

1) Vi setter $x=1$ inn i $f(x)=x^3-3x^2-13x+15$:

Siden $f(1)=0$, er $(x-1)$ en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

Vi faktoriserer videre: $x^2-2x-15=(x-5)(x+3)$. Dermed er

2) Nullpunktene er $x=-3$, $x=1$ og $x=5$. Fortegnslinje for de tre faktorene $(x+3)$, $(x-1)$ og $(x-5)$, med positiv ledende koeffisient (grafen går fra minus til pluss uendelig):

Ulikheten $f(x)\le 0$ er dermed oppfylt for

$f(0)=300$ betyr at ved starten av utbruddet ($t=0$) var utslippet av lava $300$ tonn per time.

$f^{\prime }(10)=0$ betyr at endringstakten i utslippet er null ved $t=10$ timer, altså har $f$ et stasjonært punkt (topp- eller bunnpunkt) der.

$f^{\prime \prime }(10)=-10<0$ betyr at $f$ er konkav (buer nedover) ved $t=10$, som bekrefter at det stasjonære punktet er et toppunkt.

Samlet forteller opplysningene at lava-utslippet startet på $300$ tonn per time, økte i starten, nådde et maksimum $10$ timer etter at utbruddet begynte, og avtok etter dette.

Vi bruker regelen $\lg (p)+\lg (q)=\lg (p\cdot q)$ og slår sammen alle tre leddene til én logaritme:

Siden $b^0=1$, står vi igjen med $\lg (a^4)=4\lg a$ (regelen $\lg (a^n)=n\lg a$).

Vi faktoriserer nevneren og telleren i det første leddet: $x^2-25=(x-5)(x+5)$ og $2x+10=2(x+5)$:

Uttrykket blir dermed

Det første og siste leddet kansellerer hverandre, og vi står igjen med

Linjen $l$ har parameterframstilling $x=1+2t$, $y=2+t$, så et punkt på linjen er $A(\mathrm{1,2})$ (for $t=0$), og retningsvektoren er $\overrightarrow{d}=[\mathrm{2,1}]$.

Vi finner vektoren fra $A$ til $P(\mathrm{4,1})$:

Avstanden fra $P$ til linjen finner vi ved formelen $d={\displaystyle \frac{|\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{d}|}{|\overrightarrow{d}|}}$, der $\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{d}=A{P}_x\cdot d_y-A{P}_y\cdot d_x$:

Linjestykket $AB=10\mathrm{c}\mathrm{m}$, og vi skal konstruere $△ABC$ med $\angle C=90°$ og $AC=7\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Siden $\angle C=90°$, må $C$ ligge på sirkelen med diameter $AB$ (Thales’ setning). Konstruksjon:

1. Tegn linjestykket $AB=10\mathrm{c}\mathrm{m}$.
2. Konstruer midtnormalen på $AB$ for å finne midtpunktet $M$.
3. Tegn en sirkel med sentrum $M$ og radius $5\mathrm{c}\mathrm{m}$ (halvparten av $AB$). Alle punkter på denne sirkelen ser $AB$ under en rett vinkel.
4. Sett passerspissen i $A$ med åpning $7\mathrm{c}\mathrm{m}$, og slå en bue som skjærer sirkelen fra punkt 3 i et punkt $C$.
5. Tegn linjestykkene $AC$ og $BC$. Trekant $ABC$ er nå ferdig konstruert, med $\angle C=90°$ garantert av Thales’ setning.