Vi bruker kjerneregelen på $f(x)=\sin (2x)+\pi$. Den ytre funksjonen er $\sin (u)$ med $u=2x$, og $\pi$ er en konstant som faller bort ved derivasjon.

Vi bruker produktregelen på $g(x)=x\cdot {\cos }^{2}x$, med $u=x$ og $v={\cos }^{2}x$.

Deriverer vi $u$, får vi $u^{\prime }=1$.

For $v={\cos }^{2}x={(\cos x)}^2$ bruker vi kjerneregelen: den ytre funksjonen er $u^2$ og den indre er $\cos x$.

der vi i siste steg brukte dobbeltvinkelformelen $\sin (2x)=2\sin x\cos x$.

Produktregelen $g^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ gir da