Dempet svingning i fjær og differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ I

Et lodd med masse $m$ er festet i en fjær som er festet i veggen. Når loddet er i ro, er det i likevektstilling. Se figur 1.

Lodd i fjær i likevektstilling

Vi trekker loddet ut fra likevektsstillingen, gir det et puff bort fra likevektsstillingen, og setter dermed i gang en svingebevegelse fram og tilbake. Se figur 2 og figur 3.

Avstanden fra likevektsstillingen til loddet ved tidspunktet $t$ er $y (t)$ . Se figur 2.

Lodd trukket ut fra likevekt, avstand y(t) angitt

Tida $t$ er målt i sekunder, og $y (t)$ er målt i desimeter.

Lodd på venstre side av likevektsstilling

I horisontal retning virker to krefter på loddet:

En kraft fra fjæren som er proporsjonal med $y (t)$
En friksjonskraft fra underlaget som er proporsjonal med farten $v (t) = y^{'} (t)$

Akselerasjonen til klossen er $a (t) = v^{'} (t)$

Vi setter $y (t) = y$ , $v (t) = v$ og $a (t) = a$ .

Newtons 2. lov vil da gi følgende likning

- b \cdot v - k \cdot y = m \cdot a

der $b$ , $k$ og $m$ er positive konstanter.

For hånd

Vis at denne likningen kan omformes til

y^{''} + \frac{b}{m} y^{'} + \frac{k}{m} y = 0

Vi setter $b = 1,0 Ns/m$ , $k = 2,6 N/m$ og $m = 2,5 kg$ .

Kalkulator

Vis at du får differensiallikningen

y^{''} + \frac{2}{5} y^{'} + \frac{26}{25} y = 0

Bestem et uttrykk for $y (t)$ når du får oppgitt at $y (0) = 5$ og $y (\frac{3 π}{4}) = 0$ .

For hånd

Forklar at det går like lang tid mellom hver gang loddet passerer likevektsstillingen.

Kalkulator

Vis at det maksimale utslaget $y$ på samme side av likevektsstillingen minker med $71,5 %$ fra ett utslag til det neste.

Fasit

Vist ved omforming av Newtons 2. lov.

$y (t) = 5 \sqrt{2} e^{- t / 5} \cos (t - \frac{π}{4})$

Vist — tiden mellom hver passering er konstant lik $π$ sekunder.

Vist — forholdet mellom to påfølgende utslag på samme side er $e^{- 2 π / 5} \approx 0,2846$ , altså en nedgang på $71,5 %$ .

LøsningsforslagKI-generert

Newtons 2. lov gir

- b \cdot v - k \cdot y = m \cdot a

Vi deler begge sider på $m$ :

- \frac{b}{m} v - \frac{k}{m} y = a

Flytter alle ledd over på samme side og bytter fortegn, og setter inn $v = y^{'}$ og $a = y^{''}$ :

y^{''} + \frac{b}{m} y^{'} + \frac{k}{m} y = 0

$Vist.$

Vi setter inn $b = 1,0$ , $k = 2,6$ og $m = 2,5$ :

\frac{b}{m} = \frac{1,0}{2,5} = 0,4 = \frac{2}{5} \frac{k}{m} = \frac{2,6}{2,5} = 1,04 = \frac{26}{25}

Dette gir differensiallikningen

y^{''} + \frac{2}{5} y^{'} + \frac{26}{25} y = 0

$Vist.$

Den karakteristiske likningen er

r^{2} + \frac{2}{5} r + \frac{26}{25} = 0

Multipliserer med $25$ :

25 r^{2} + 10 r + 26 = 0

Diskriminanten er $d = 10^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 26 = 100 - 2600 = - 2500 < 0$ , så vi får komplekse røtter:

r = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 2500}}{50} = \frac{- 10 \pm 50 i}{50} = - \frac{1}{5} \pm i

Bekreftet i GeoGebra CAS (r1 := -1/5 + i satt inn i likningens venstreside gir $0$ , se r2-v10-2-6I-losning2.png).

Med røtter $α \pm β i = - \frac{1}{5} \pm i$ er den generelle løsningen

y (t) = e^{- t / 5} (C_{1} \cos t + C_{2} \sin t)

Vi bruker initialbetingelsene til å bestemme $C_{1}$ og $C_{2}$ .

$y (0) = 5$ gir $C_{1} = 5$ .

$y (\frac{3 π}{4}) = 0$ gir

e^{- 3 π / 20} (5 \cos \frac{3 π}{4} + C_{2} \sin \frac{3 π}{4}) = 0

Siden $e^{- 3 π / 20} \neq 0$ , må parentesen være $0$ . Med $\cos \frac{3 π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ og $\sin \frac{3 π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ :

5 \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + C_{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \Rightarrow C_{2} = 5

Dermed er

y (t) = 5 e^{- t / 5} (\cos t + \sin t) = 5 \sqrt{2} e^{- t / 5} \cos (t - \frac{π}{4})

der vi har brukt $\cos t + \sin t = \sqrt{2} \cos (t - \frac{π}{4})$ .

Kontrollert numerisk i GeoGebra CAS: med utslag(t) := 5√2 e^(-t/5) cos(t - pi/4) gir utslag(0) = 5 og utslag(3π/4) = 0, som stemmer med initialbetingelsene (se r2-v10-2-6I-losning.png).

CAS-kontroll av y(0)=5 og y(3π/4)=0

$y (t) = 5 \sqrt{2} e^{- t / 5} \cos (t - \frac{π}{4})$

Loddet er i likevektsstillingen når $y (t) = 0$ , altså når

\cos (t - \frac{π}{4}) = 0

Dette skjer når

t - \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + n π, n = 0, 1, 2, \dots

t = \frac{3 π}{4} + n π

Tidspunktene for passering er altså $t_{0} = \frac{3 π}{4}$ , $t_{1} = \frac{3 π}{4} + π$ , $t_{2} = \frac{3 π}{4} + 2 π$ , osv. Differansen mellom to påfølgende passeringstidspunkt er

t_{n + 1} - t_{n} = π

som er konstant og ikke avhenger av $n$ . Dette skyldes at nullpunktene til $\cos (t - \frac{π}{4})$ ligger med jevn avstand $π$ , og at dempingsfaktoren $e^{- t / 5}$ aldri er $0$ og derfor ikke påvirker hvor $y (t) = 0$ — bare hvor stort utslaget er.

$Det går alltid π sekunder mellom hver passering av likevektsstillingen.$

De maksimale utslagene finner vi der $y^{'} (t) = 0$ . Vi deriverer

y (t) = 5 \sqrt{2} e^{- t / 5} \cos (t - \frac{π}{4})

y^{'} (t) = - 5 \sqrt{2} e^{- t / 5} [\frac{1}{5} \cos (t - \frac{π}{4}) + \sin (t - \frac{π}{4})]

Setter $y^{'} (t) = 0$ . Siden $e^{- t / 5} \neq 0$ , må

\frac{1}{5} \cos (t - \frac{π}{4}) + \sin (t - \frac{π}{4}) = 0 \Rightarrow \tan (t - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{5}

Tangens har periode $π$ , så ekstremalpunktene ligger med jevn avstand $π$ mellom seg, og de veksler mellom maksimum (ene siden) og minimum (andre siden), siden $\cos (t - \frac{π}{4})$ skifter fortegn hver gang vi legger til $π$ . Maksimalt utslag på samme side inntreffer derfor for hver andre ekstremalpunkt, altså med avstand

t_{n + 1} - t_{n} = 2 π

Forholdet mellom to påfølgende maksimalutslag på samme side blir dermed

\frac{y (t_{n} + 2 π)}{y (t_{n})} = \frac{5 \sqrt{2} e^{- (t_{n} + 2 π) / 5} \cos (t_{n} + 2 π - \frac{π}{4})}{5 \sqrt{2} e^{- t_{n} / 5} \cos (t_{n} - \frac{π}{4})} = e^{- 2 π / 5}

siden $\cos$ har periode $2 π$ . Numerisk (se e^(-2pi/5) i r2-v10-2-6I-losning2.png):

e^{- 2 π / 5} \approx 0,2846

Det betyr at hvert nye maksimalutslag på samme side er omtrent $28,46 %$ av det forrige, altså en nedgang på

1 - 0,2846 = 0,7154 \approx 71,5 %

CAS-kontroll av røtter og e^(-2π/5)

$Vist: nedgangen fra ett maksimalutslag til det neste på samme side er 71,5 % .$

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2010, del 2, oppgave 6-I
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Trigonometri, Bevis

Dempet svingning i fjær og differensiallikning

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Dempet svingning i fjær og differensiallikning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Dempet svingning i fjær og differensiallikning

Dempet svingning i fjær og differensiallikning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer