Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ I

Et lodd med masse $m$ er festet i en fjær som er festet i veggen. Når loddet er i ro, er det i likevektstilling. Se figur 1.

Vi trekker loddet ut fra likevektsstillingen, gir det et puff bort fra likevektsstillingen, og setter dermed i gang en svingebevegelse fram og tilbake. Se figur 2 og figur 3.

Avstanden fra likevektsstillingen til loddet ved tidspunktet $t$ er $y(t)$. Se figur 2.

Tida $t$ er målt i sekunder, og $y(t)$ er målt i desimeter.

I horisontal retning virker to krefter på loddet:

• En kraft fra fjæren som er proporsjonal med $y(t)$
• En friksjonskraft fra underlaget som er proporsjonal med farten $v(t) = y'(t)$

Akselerasjonen til klossen er $a(t) = v'(t)$

Vi setter $y(t) = y$, $v(t) = v$ og $a(t) = a$.

Newtons 2. lov vil da gi følgende likning

$$-b \cdot v - k \cdot y = m \cdot a$$

der $b$, $k$ og $m$ er positive konstanter.

a)

Vis at denne likningen kan omformes til

$$y'' + \frac{b}{m}\,y' + \frac{k}{m}\,y = 0$$

Vi setter $b = 1{,}0 \; \text{Ns/m}$, $k = 2{,}6 \; \text{N/m}$ og $m = 2{,}5 \; \text{kg}$.

b)

Vis at du får differensiallikningen

$$y'' + \frac{2}{5}\,y' + \frac{26}{25}\,y = 0$$

Bestem et uttrykk for $y(t)$ når du får oppgitt at $y(0) = 5$ og $y\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = 0$.

c)

Forklar at det går like lang tid mellom hver gang loddet passerer likevektsstillingen.

d)

Vis at det maksimale utslaget $y$ på samme side av likevektsstillingen minker med $71{,}5\,\%$ fra ett utslag til det neste.