Dempet sinusfunksjon og differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy.

Gitt funksjonen $f (x) = 4 \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (4 \sin (2 x) + 3 \cos (2 x))$ når $x \in ⟨ 0, 5 π ⟩$ .

Kalkulator

Skisser, eller ta en utskrift av, grafen til $f$ .

Kalkulator

Finn nullpunktene, topp-, bunn- og vendepunktene på grafen til $f$ når $x \in ⟨ 0, π ⟩$ .

Funksjonsuttrykket til $f$ kan skrives på formen $f (x) = K \cdot e^{- 0,2 x} \cdot \sin (2 x + φ)$ .

Kalkulator

Finn konstantene $K$ og $φ$ .

Kalkulator

$y = f (x)$ , der $f (x)$ er funksjonen ovenfor, er en løsning av differensiallikningen

y^{''} + a y^{'} + b y = 0

Bestem konstantene $a$ og $b$ .

Fasit

Se grafen i løsningsforslaget.

Nullpunkt: $x_{1} \approx 1,25$ og $x_{2} \approx 2,82$ . Toppunkt: $(0,41, 18,32)$ . Bunnpunkt: $(1,98, - 13,38)$ . Vendepunkt: $(1,15, 3,15)$ og $(2,72, - 2,30)$ .

$K = 20, φ = \arctan \frac{3}{4} \approx 0,64$

$a = 0,4, b = 4,04$

LøsningsforslagKI-generert

Vi plotter $f (x) = 4 \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (4 \sin (2 x) + 3 \cos (2 x))$ for $x \in ⟨ 0, 5 π ⟩$ i GeoGebra. Grafen viser en dempet svingning: amplituden avtar mot null etter hvert som $x$ øker, fordi faktoren $e^{- 0,2 x}$ dør ut.

Graf til f med nullpunkt, topp-, bunn- og vendepunkt

I intervallet $x \in ⟨ 0, π ⟩$ (markert med farger på grafen over: grønt = nullpunkt, rødt = topp-/bunnpunkt, oransje = vendepunkt) finner vi, ved å bruke GeoGebra sine kommandoer for røtter, ekstremalpunkt og andrederivertes nullpunkt:

Nullpunkt: $x_{1} \approx 1,25$ og $x_{2} \approx 2,82$
Toppunkt: $(0,41, 18,32)$
Bunnpunkt: $(1,98, - 13,38)$
Vendepunkt: $(1,15, 3,15)$ og $(2,72, - 2,30)$

Vi skal skrive $4 \sin (2 x) + 3 \cos (2 x)$ på formen $R \sin (2 x + φ)$ . Vi bruker at

R \sin (2 x + φ) = R \cos φ \cdot \sin (2 x) + R \sin φ \cdot \cos (2 x)

Sammenligner vi koeffisientene med $4 \sin (2 x) + 3 \cos (2 x)$ , får vi $R \cos φ = 4$ og $R \sin φ = 3$ . Da er

R = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25} = 5, \tan φ = \frac{3}{4} \Rightarrow φ = \arctan \frac{3}{4} \approx 0,64

Siden $\cos φ = \frac{4}{5} > 0$ og $\sin φ = \frac{3}{5} > 0$ , ligger $φ$ i første kvadrant, så $φ = \arctan \frac{3}{4}$ er riktig løsning. Dermed er

f (x) = 4 \cdot e^{- 0,2 x} \cdot 5 \sin (2 x + φ) = 20 \cdot e^{- 0,2 x} \cdot \sin (2 x + \arctan \frac{3}{4})

slik at $K = 20$ og $φ = \arctan \frac{3}{4} \approx 0,64$ . Vi kontrollerer i CAS at $f (x) - K e^{- 0,2 x} \sin (2 x + φ) = 0$ :

CAS-kontroll av K og φ

Funksjonen $f (x) = K e^{- 0,2 x} \sin (2 x + φ)$ er på formen $e^{p x} \sin (q x + φ)$ med $p = - 0,2$ og $q = 2$ . En slik funksjon er løsning av en andreordens lineær differensiallikning $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ nettopp når den karakteristiske likningen har komplekse røtter $r = p \pm q i = - 0,2 \pm 2 i$ .

Den karakteristiske likningen med disse røttene er

(r - (p + q i)) (r - (p - q i)) = (r - p)^{2} + q^{2} = r^{2} - 2 p r + (p^{2} + q^{2}) = 0

Setter vi inn $p = - 0,2$ og $q = 2$ :

r^{2} + 0,4 r + (0,04 + 4) = r^{2} + 0,4 r + 4,04 = 0

Siden $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ har karakteristisk likning $r^{2} + a r + b = 0$ , leser vi av

a = 0,4, b = 4,04

Vi kontrollerer numerisk (i GeoGebra) at $f^{''} (x) + 0,4 f^{'} (x) + 4,04 f (x) = 0$ for flere verdier av $x$ , blant annet $x = 1$ og $x = 2,5$ , som begge gir venstresiden lik $0$ . Dette bekrefter at $y = f (x)$ løser differensiallikningen med $a = 0,4$ og $b = 4,04$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2009, del 2, oppgave 4-II
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Differensiallikning, Graf

Dempet sinusfunksjon og differensiallikning

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Dempet sinusfunksjon og differensiallikning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Dempet sinusfunksjon og differensiallikning

Dempet sinusfunksjon og differensiallikning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer