Daglengde i Mandal og Trondheim

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonene $M$ og $T$ gitt ved

M(x) = -0{,}0002x^3 + 0{,}046x^2 + 2x + 396 \qquad,\qquad 0 \leq x \leq 190

T(x) = -0{,}00028x^3 + 0{,}066x^2 + 2{,}2x + 295 \qquad,\qquad 0 \leq x \leq 190

viser tilnærmet daglengde, $M(x)$ minutter i Mandal og $T(x)$ minutter i Trondheim, $x$ døgn etter 31. desember 2018.

Tegn grafene til $M$ og $T$ i samme koordinatsystem.

Når var daglengden lik i de to byene?

Hvor mange minutter økte daglengden i Mandal i gjennomsnitt med per dag fra 31. desember til 1. mai?

Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $T$ når $x = 60$ . Gi en praktisk tolkning av dette svaret.

Fasit

Se graf under.

Daglengden var lik ca. $x \approx 79$ , dvs. rundt 20. mars.

$\underline{\underline{\approx 4{,}64 \mathrm{~min/dag}}}$

$\underline{\underline{T'(60) \approx 7{,}10 \mathrm{~min/dag}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver inn funksjonene i GeoGebra og tegner grafene i samme koordinatsystem:

M(x) = If(0 <= x && x <= 190, -0.0002*x^3 + 0.046*x^2 + 2*x + 396)
T(x) = If(0 <= x && x <= 190, -0.00028*x^3 + 0.066*x^2 + 2.2*x + 295)
Skjaering = Intersect(M, T, 0, 190)
ZoomIn(0, 200, 200, 1100)

Grafer for daglengde i Mandal (M) og Trondheim (T)

$M(x)$ (blå) og $T(x)$ (grønn) viser daglengden i henholdsvis Mandal og Trondheim, der $x$ er antall dager etter 31. desember 2018.

Vi ser at:

Begge grafene starter med ulik verdi ved $x = 0$ : Mandal har $M(0) = 396$ minutter, Trondheim har $T(0) = 295$ minutter.
Daglengden øker for begge byer utover i perioden.
Trondheim ( $T$ ) øker raskere enn Mandal ( $M$ ) i begynnelsen av perioden.

Vi bruker GeoGebra til å finne skjæringspunktet mellom $M$ og $T$ .

GeoGebra gir at grafene skjærer hverandre ved

x \approx 79

$x = 79$ svarer til omtrent 20. mars 2019 (31 dager i januar + 28 dager i februar + 20 dager i mars = 79 dager).

Daglengden var lik i Mandal og Trondheim rundt 20. mars 2019, med om lag $742$ minutters daglengde.

Gjennomsnittlig vekstfart er definert som:

\frac{M(x_2) - M(x_1)}{x_2 - x_1}

Vi beregner fra 31. desember ( $x = 0$ ) til 1. mai.

Fra 31. desember til 1. mai er det $31 + 28 + 31 + 30 + 1 = 121$ dager, altså $x = 121$ .

Vi regner ut:

M(0) = -0{,}0002 \cdot 0^3 + 0{,}046 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 + 396 = 396 \mathrm{~min}

M(121) = -0{,}0002 \cdot 121^3 + 0{,}046 \cdot 121^2 + 2 \cdot 121 + 396 \approx 957{,}2 \mathrm{~min}

Gjennomsnittlig vekstfart:

\frac{M(121) - M(0)}{121 - 0} = \frac{957{,}2 - 396}{121} = \frac{561{,}2}{121} \approx 4{,}64 \mathrm{~min/dag}

Daglengden i Mandal økte i gjennomsnitt med omtrent $\underline{\underline{4{,}64}}$ minutter per dag fra 31. desember til 1. mai.

Dette betyr at for hver dag som gikk i dette tidsrommet, ble dagen i gjennomsnitt nesten 5 minutter lengre.

Den momentane vekstfarten til $T$ ved $x = 60$ er det samme som den deriverte $T'(60)$ .

Vi deriverer $T(x)$ :

T(x) = -0{,}00028x^3 + 0{,}066x^2 + 2{,}2x + 295

T'(x) = -3 \cdot 0{,}00028x^2 + 2 \cdot 0{,}066x + 2{,}2 = -0{,}00084x^2 + 0{,}132x + 2{,}2

Vi setter inn $x = 60$ :

T'(60) = -0{,}00084 \cdot 60^2 + 0{,}132 \cdot 60 + 2{,}2

= -0{,}00084 \cdot 3600 + 7{,}92 + 2{,}2

= -3{,}024 + 7{,}92 + 2{,}2

\approx 7{,}10 \mathrm{~min/dag}

Den momentane vekstfarten er $\underline{\underline{T'(60) \approx 7{,}10 \mathrm{~min/dag}}}$ .

$x = 60$ svarer til omtrent 1. mars 2019 (31 januar + 28 februar + 1 mars = 60 dager).

Praktisk tolkning: Den 1. mars 2019 økte daglengden i Trondheim med omtrent $7{,}1$ minutter per dag. Det betyr at dagene ble lenger med nesten $7{,}1$ minutters hastighet akkurat da.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Funksjoner, Graf, Derivasjon, Modellering

Daglengde i Mandal og Trondheim

Sync på tvers av enheter

Daglengde i Mandal og Trondheim

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave