Brøkuttrykk med brudden brøk og faktorisering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vis at

\frac{x + 2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{3} - \frac{1}{3 x}} = \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{x^{2} - 1}

Skriv så enkelt som mulig

\frac{x + 2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{3} - \frac{1}{3 x}}

Fasit

Identitet vist ved utgangen

$\frac{3 (x + 1)}{x - 1}$ , $x \neq 0, \pm 1$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ganger både teller og nevner i den brudne brøken med $3 x$ , som er fellesnevneren til leddene $\frac{1}{x}$ , $\frac{x}{3}$ og $\frac{1}{3 x}$ .

Telleren:

(x + 2 + \frac{1}{x}) \cdot 3 x = 3 x^{2} + 6 x + 3

Nevneren:

(\frac{x}{3} - \frac{1}{3 x}) \cdot 3 x = x^{2} - 1

Siden vi har ganget både teller og nevner med samme uttrykk, er brøken uendret:

\frac{x + 2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{3} - \frac{1}{3 x}} = \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{x^{2} - 1} ■

Vi bruker resultatet fra a) og faktoriserer teller og nevner.

Telleren har felles faktor $3$ , og resten er et fullstendig kvadrat (første kvadratsetning):

3 x^{2} + 6 x + 3 = 3 (x^{2} + 2 x + 1) = 3 {(x + 1)}^{2}

Nevneren er en tredje kvadratsetning (konjugatsetningen):

x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)

Vi setter inn og forkorter med den felles faktoren $(x + 1)$ :

\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{3 (x + 1)}{x - 1}

\frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{x^{2} - 1} = \frac{3 (x + 1)}{x - 1}

Uttrykket er definert for $x \neq 0$ (nevner i opprinnelig uttrykk) og $x \neq \pm 1$ (nevner etter forkorting).

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2018, del 1, oppgave 9
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Algebra, Brøk, Faktorisering

Innstillinger