Binomisk sannsynlighet for syklister uten lys i mørket

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En undersøkelse har vist at 20 % av alle syklistene i en by sykler uten lys i mørket. Vi velger tilfeldig ti syklister fra denne byen.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at minst én av de ti sykler uten lys i mørket.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at bare den første, den fjerde og den tiende syklisten vi velger, sykler uten lys i mørket.

Krever PC

Bestem sannsynligheten for at nøyaktig tre av de ti sykler uten lys i mørket.

Fasit

$P (X \geq 1) \approx 0,8926$

$P \approx 0,0017$

$P (X = 3) \approx 0,2013$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $X$ være antall syklister av de ti som sykler uten lys i mørket. Siden hver syklist uavhengig av de andre enten sykler uten lys eller ikke, med samme sannsynlighet $p = 0,20$ , er $X$ binomisk fordelt med $n = 10$ og $p = 0,20$ .

«Minst én» er komplementet til «ingen» av de ti sykler uten lys, altså $X = 0$ :

P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (\binom{10}{0}) \cdot {0,20}^{0} \cdot {0,80}^{10} = 1 - {0,80}^{10}

Vi regner ut i GeoGebra CAS:

CAS-utregning av binomisk sannsynlighet for syklister uten lys

Vi finner $P (X \geq 1) \approx 0,8926$ .

Svar: Sannsynligheten for at minst én av de ti syklistene sykler uten lys i mørket, er $P (X \geq 1) \approx 0,8926$ .

Her er det ikke snakk om en binomisk sannsynlighet, siden det er bestemt akkurat hvilke av de ti syklistene (den første, den fjerde og den tiende) som skal sykle uten lys — det skal ikke summeres over alle mulige rekkefølger, så vi bruker ikke binomialkoeffisienten. Sannsynligheten for denne bestemte rekkefølgen er produktet av enkeltsannsynlighetene:

P = \underset{syklist 1, 2, 3}{\underset{⏟}{0,20 \cdot 0,80 \cdot 0,80}} \cdot \underset{syklist 4}{\underset{⏟}{0,20}} \cdot \underset{syklist 5–9}{\underset{⏟}{0,80 \cdot 0,80 \cdot 0,80 \cdot 0,80 \cdot 0,80}} \cdot \underset{syklist 10}{\underset{⏟}{0,20}} = {0,20}^{3} \cdot {0,80}^{7}

Vi regner ut i GeoGebra CAS (se linje 2 i skjermbildet over):

P = {0,20}^{3} \cdot {0,80}^{7} \approx 0,0017

Svar: Sannsynligheten for at bare den første, den fjerde og den tiende syklisten sykler uten lys i mørket, er $P \approx 0,0017$ .

Sannsynligheten for at akkurat $k$ av de ti sykler uten lys, er gitt ved

P (X = k) = (\binom{10}{k}) \cdot {0,20}^{k} \cdot {0,80}^{10 - k}

For $k = 3$ setter vi opp uttrykket i GeoGebra CAS og regner ut (se linje 3 i skjermbildet over):

P (X = 3) = (\binom{10}{3}) \cdot {0,20}^{3} \cdot {0,80}^{7} \approx 0,2013

Svar: Sannsynligheten for at nøyaktig tre av de ti syklistene sykler uten lys i mørket, er $P (X = 3) \approx 0,2013$ .

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2013, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet

Binomisk sannsynlighet for syklister uten lys i mørket

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Binomisk sannsynlighet for syklister uten lys i mørket

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Binomisk sannsynlighet for syklister uten lys i mørket

Binomisk sannsynlighet for syklister uten lys i mørket

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer