Binomialkoeffisienter og kombinatorisk likning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Binomialkoeffisientene er gitt ved

(\binom{n}{r}) = \frac{n!}{(n - r)! \cdot r!}

Bestem $(\binom{12}{2})$ . Vis at $(\binom{n}{1}) = n$ .

Bruk det du fant i oppgave a) til å løse likningen

\frac{(\binom{x}{1}) \cdot (\binom{12 - x}{1})}{(\binom{12}{2})} = \frac{6}{11}

Fasit

$(\binom{12}{2}) = 66$

$x = 6$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker definisjonen av binomialkoeffisienten:

(\binom{12}{2}) = \frac{12!}{(12 - 2)! \cdot 2!} = \frac{12!}{10! \cdot 2!} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66

For å vise at $(\binom{n}{1}) = n$ , setter vi $r = 1$ inn i definisjonen:

(\binom{n}{1}) = \frac{n!}{(n - 1)! \cdot 1!} = \frac{n \cdot (n - 1)!}{(n - 1)!} = n

Fra a) vet vi at $(\binom{x}{1}) = x$ og $(\binom{12 - x}{1}) = 12 - x$ , og at $(\binom{12}{2}) = 66$ . Vi setter dette inn i likningen:

\frac{x \cdot (12 - x)}{66} = \frac{6}{11}

Vi ganger begge sider med $66$ :

x (12 - x) = 66 \cdot \frac{6}{11} = 36

Vi ganger ut parentesen og flytter alt over på én side:

12 x - x^{2} = 36 \Rightarrow x^{2} - 12 x + 36 = 0

Dette er et fullstendig kvadrat, ${(x - 6)}^{2} = 0$ , som gir

x = 6

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2015, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet

Innstillinger