Bevis for Pytagoras med innskrevet halvsirkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal vi bevise Pytagoras’ setning.

I en rettvinklet trekant $A B C$ med sidene $a$ , $b$ og $c$ har vi tegnet en innskrevet halvsirkel med sentrum i $D$ og radius $r = D C = D E$ . Halvsirkelen tangerer hypotenusen i punktet $E$ . Se figuren nedenfor.

Rettvinklet trekant ABC med innskrevet halvsirkel, sentrum D og radius r

Begrunn at $△ C E B$ er likebeint. Bruk dette til å vise at $E A = c - a$ .

Begrunn at $△ A B C \sim △ A D E$ . Bruk dette til å vise at $r = \frac{a \cdot (c - a)}{b}$ .

Vi speiler hele figuren om $A C$ og får en trekant $A B F$ med en innskrevet sirkel.

Speilet trekant ABF med innskrevet sirkel

Vis ved arealbetraktninger at $a \cdot b = (a + c) \cdot r$ .

Bruk resultatene fra oppgave b) og c) til å bevise Pytagoras’ setning.

Fasit

$E A = c - a$

$r = \frac{a (c - a)}{b}$

$a \cdot b = (a + c) \cdot r$

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $∠ A C B = 90 °$ og $D$ ligger på linjen $C A$ , er $D C ⟂ C B$ . Radius står vinkelrett på tangenten i tangeringspunktet, så dette betyr at $C B$ er tangent til sirkelen i punktet $C$ . Vi er også gitt at halvsirkelen tangerer hypotenusen i $E$ , altså er $D E ⟂ A B$ , så $A B$ er tangent til sirkelen i $E$ .

$C B$ og $E B$ er dermed to tangentlinjestykker fra det samme ytre punktet $B$ til sirkelen. To tangenter fra et felles punkt til en sirkel er alltid like lange, så

E B = C B = a

Trekanten $△ C E B$ har dermed to like lange sider ( $C B = E B = a$ ), og er derfor likebeint.

Siden $E$ ligger på linjestykket $A B$ mellom $A$ og $B$ , er

A E = A B - E B = c - a

Trekanten $△ A B C$ har rett vinkel i $C$ . I $△ A D E$ er $D E ⟂ A B$ (gitt), så trekanten har rett vinkel i $E$ . De to trekantene har i tillegg felles vinkel i $A$ , siden $D$ ligger på $C A$ og $E$ ligger på $A B$ (vinkel $C A B$ = vinkel $D A E$ ).

To par like vinkler gir formlikhet:

△ A B C \sim △ A D E

med korresponderende hjørner $A \leftrightarrow A$ , $B \leftrightarrow D$ , $C \leftrightarrow E$ . Forholdet mellom korresponderende sider gir

\frac{B C}{D E} = \frac{C A}{E A}

\frac{a}{r} = \frac{b}{c - a}

Løser vi for $r$ :

r = \frac{a (c - a)}{b}

Speiler vi hele figuren om linjen $A C$ , blir $B$ avbildet i et punkt $F$ på motsatt side av $A C$ . Siden $C B ⟂ C A$ , blir $C$ midtpunktet på linjestykket $B F$ , med $C F = C B = a$ og dermed $B F = 2 a$ . Vi får en større trekant $△ A B F$ satt sammen av $△ A B C$ og speilbildet $△ A C F$ , med $A F = A B = c$ .

Halvsirkelen sammen med speilbildet sitt utgjør nå en hel sirkel med sentrum $D$ og radius $r$ , som er tangent til alle tre sidene i $△ A B F$ : $A B$ (i $E$ ), $A F$ (i speilbildet av $E$ ) og $B F$ (i $C$ , siden $D C ⟂ C B$ og $B$ , $C$ , $F$ ligger på linje). Sirkelen er altså den innskrevne sirkelen i $△ A B F$ .

Deler vi $△ A B F$ i tre mindre trekanter med toppunkt i $D$ — $△ A B D$ , $△ B D F$ og $△ F D A$ — er $r$ høyden fra $D$ ned på henholdsvis $A B$ , $B F$ og $F A$ i hver av dem. Arealet av $△ A B F$ blir dermed

Areal (△ A B F) = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r + \frac{1}{2} \cdot 2 a \cdot r + \frac{1}{2} \cdot c \cdot r = r (a + c)

Samtidig er $△ A B F$ satt sammen av to kopier av $△ A B C$ (originalen og speilbildet), så

Areal (△ A B F) = 2 \cdot Areal (△ A B C) = 2 \cdot \frac{1}{2} a b = a b

Siden begge uttrykkene beskriver samme areal, må

a \cdot b = (a + c) \cdot r

Fra b) har vi $r = \frac{a (c - a)}{b}$ , altså

r b = a (c - a) = a c - a^{2} (1)

Fra c) har vi $a b = (a + c) r$ , altså

r = \frac{a b}{a + c} (2)

Setter vi (2) inn i (1):

\frac{a b}{a + c} \cdot b = a c - a^{2}

\frac{a b^{2}}{a + c} = a (c - a)

Vi deler begge sider på $a$ (siden $a > 0$ ):

\frac{b^{2}}{a + c} = c - a

b^{2} = (c - a) (c + a) = c^{2} - a^{2}

a^{2} + b^{2} = c^{2}

som er nettopp Pytagoras’ setning.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2019, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Bevis, Geometri, Areal og omkrets, Trigonometri

Bevis for Pytagoras med innskrevet halvsirkel

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Bevis for Pytagoras med innskrevet halvsirkel

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Bevis for Pytagoras med innskrevet halvsirkel

Bevis for Pytagoras med innskrevet halvsirkel

Lov på eksamen

Temaer