Vi velger et vilkårlig punkt $P^{\prime }$ på sirkelen, forskjellig fra $P$, men på samme side av korden $AB$ som $P$ (altså på den store buen). Linjestykkene $P^{\prime }A$ og $P^{\prime }B$ tegnes inn. Vinkelen $\angle A{P}^{\prime }B$ er da en annen periferivinkel som spenner over buen $AB$.

$OP$, $OA$ og $OB$ er alle radier i sirkelen, så

I $△POA$ er to av sidene ($OP$ og $OA$) like lange, så trekanten er likebeint. Tilsvarende er $OP=OB$ i $△POB$, så også denne trekanten er likebeint.

Siden $△POA$ er likebeint med $OP=OA$, er vinklene motstående disse sidene like store:

$P$, $O$ og $Q$ ligger på en rett linje (diameteren), så $\angle AOQ$ er en ytre vinkel til $△POA$ i hjørnet $O$. Etter ytre vinkelsetningen er en ytre vinkel lik summen av de to andre vinklene i trekanten:

Tilsvarende resonnement for $△POB$ (som er likebeint med $OP=OB$) gir at $\angle OPB=\angle OBP$, og at $\angle BOQ$ er ytre vinkel til $△POB$ i $O$:

Av figuren ser vi at strålen $OB$ ligger mellom $OQ$ og $OA$, slik at

Tilsvarende ligger strålen $PB$ mellom $PQ$ og $PA$, slik at

Vi setter inn resultatene fra c):

Altså er

som er akkurat det setningen sier: periferivinkelen $\angle APB$ er halvparten av sentralvinkelen $\angle AOB$ som spenner over samme bue $AB$.