Bevis for grenseverdien til sin v delt på v

Del 1 · oppgave 5
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Bevis for grenseverdien til sin v delt på v

I denne oppgaven skal du vise at lim⁡v→0+sin⁡vv=1\lim_{v \to 0^+} \dfrac{\sin v}{v} = 1.

I figuren nedenfor er AB=AD=1AB = AD = 1, og buen BDBD er del av en sirkel med sentrum i AA. Vi lar ∠BAC=v\angle BAC = v (målt i radianer).

Figur til grenseverdibevis

Bruk arealbetraktninger til å begrunne at

12sin⁡v<12v<12tan⁡v\frac{1}{2}\sin v < \frac{1}{2}v < \frac{1}{2}\tan v

Forklar at dette gir oss

1<vsin⁡v<1cos⁡v1 < \frac{v}{\sin v} < \frac{1}{\cos v}

Bruk ulikhetene fra oppgave b til å begrunne at lim⁡v→0+sin⁡vv=1\lim_{v \to 0^+} \dfrac{\sin v}{v} = 1.

Fasit

Se løsningsforslag.

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser på tre figurer som alle befinner seg innenfor sirkelen med sentrum AA og radius 11, og sammenligner arealene.

Trekant ABDABD. DCDC er høyden fra DD ned til grunnlinjen ABAB. Siden AD=1AD = 1 og ∠DAB=v\angle DAB = v, er ∣DC∣=sin⁡v|DC| = \sin v. Grunnlinjen ∣AB∣=1|AB| = 1, og arealet er

T△ABD=12⋅1⋅sin⁡v=12sin⁡v.T_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin v = \frac{1}{2}\sin v.

Sirkelsektor ABDABD. En sektor med radius r=1r = 1 og sentralvinkel vv (i radianer) har areal

Tsektor=12r2v=12⋅12⋅v=12v.T_{\text{sektor}} = \frac{1}{2}r^2 v = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot v = \frac{1}{2}v.

Trekant ABEABE. La EE være punktet på linjen gjennom AA og CC slik at BE⊥ABBE \perp AB. Da AB=1AB = 1 og ∠BAE=v\angle BAE = v, gir tangens at ∣BE∣=tan⁡v|BE| = \tan v. Arealet er

T△ABE=12⋅1⋅tan⁡v=12tan⁡v.T_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan v = \frac{1}{2}\tan v.

Innklusjonen av figurene. Trekant ABDABD er en delfigur av sektoren (alle punkter i trekanten ligger innenfor sektoren), og sektoren er en delfigur av trekant ABEABE (buen BDBD er kortere enn siden BEBE). Derfor gjelder:

12sin⁡v<12v<12tan⁡v.□\frac{1}{2}\sin v < \frac{1}{2}v < \frac{1}{2}\tan v. \qquad \square

Vi starter fra ulikheten i a:

12sin⁡v<12v<12tan⁡v.\frac{1}{2}\sin v < \frac{1}{2}v < \frac{1}{2}\tan v.

For 0<v<π20 < v < \dfrac{\pi}{2} er sin⁡v>0\sin v > 0, så vi kan dele alle ledd med 12sin⁡v\dfrac{1}{2}\sin v (positivt, ulikhetstegnene bevares):

1<vsin⁡v<tan⁡vsin⁡v.1 < \frac{v}{\sin v} < \frac{\tan v}{\sin v}.

Vi forenkler høyre side:

tan⁡vsin⁡v=sin⁡vcos⁡vsin⁡v=1cos⁡v.\frac{\tan v}{\sin v} = \frac{\dfrac{\sin v}{\cos v}}{\sin v} = \frac{1}{\cos v}.

Dermed:

1<vsin⁡v<1cos⁡v.□1 < \frac{v}{\sin v} < \frac{1}{\cos v}. \qquad \square

Fra b har vi for 0<v<π20 < v < \dfrac{\pi}{2}:

1<vsin⁡v<1cos⁡v.1 < \frac{v}{\sin v} < \frac{1}{\cos v}.

Vi tar grenseverdien når v→0+v \to 0^+ i ytterleddet:

lim⁡v→0+1=1oglim⁡v→0+1cos⁡v=1cos⁡0=11=1.\lim_{v \to 0^+} 1 = 1 \qquad \text{og} \qquad \lim_{v \to 0^+} \frac{1}{\cos v} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1.

Begge yttergrensene er 11, og vsin⁡v\dfrac{v}{\sin v} er klemt mellom dem. Av skviseteoremet (sandwich-teoremet) følger det at

lim⁡v→0+vsin⁡v=1.\lim_{v \to 0^+} \frac{v}{\sin v} = 1.

Siden vsin⁡v≠0\dfrac{v}{\sin v} \neq 0 i en omegn av 00, kan vi ta den gjensidige verdien:

lim⁡v→0+sin⁡vv=11=1‾‾.□\lim_{v \to 0^+} \frac{\sin v}{v} = \frac{1}{1} = \underline{\underline{1}}. \qquad \square
Oppgavedata
Temaer
grenseverdi, trigonometri, bevis
Kompetansemål
  • Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis
  • Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer