Bevis for grenseverdien til sin v delt på v

I denne oppgaven skal du vise at $\lim_{v \to 0^+} \dfrac{\sin v}{v} = 1$ .

I figuren nedenfor er $AB = AD = 1$ , og buen $BD$ er del av en sirkel med sentrum i $A$ . Vi lar $\angle BAC = v$ (målt i radianer).

Figur til grenseverdibevis

Bruk arealbetraktninger til å begrunne at

\frac{1}{2}\sin v < \frac{1}{2}v < \frac{1}{2}\tan v

Forklar at dette gir oss

1 < \frac{v}{\sin v} < \frac{1}{\cos v}

Bruk ulikhetene fra oppgave b til å begrunne at $\lim_{v \to 0^+} \dfrac{\sin v}{v} = 1$ .

Fasit

Se løsningsforslag.

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser på tre figurer som alle befinner seg innenfor sirkelen med sentrum $A$ og radius $1$ , og sammenligner arealene.

Trekant $ABD$ . $DC$ er høyden fra $D$ ned til grunnlinjen $AB$ . Siden $AD = 1$ og $\angle DAB = v$ , er $|DC| = \sin v$ . Grunnlinjen $|AB| = 1$ , og arealet er

T_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin v = \frac{1}{2}\sin v.

Sirkelsektor $ABD$ . En sektor med radius $r = 1$ og sentralvinkel $v$ (i radianer) har areal

T_{\text{sektor}} = \frac{1}{2}r^2 v = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot v = \frac{1}{2}v.

Trekant $ABE$ . La $E$ være punktet på linjen gjennom $A$ og $C$ slik at $BE \perp AB$ . Da $AB = 1$ og $\angle BAE = v$ , gir tangens at $|BE| = \tan v$ . Arealet er

T_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan v = \frac{1}{2}\tan v.

Innklusjonen av figurene. Trekant $ABD$ er en delfigur av sektoren (alle punkter i trekanten ligger innenfor sektoren), og sektoren er en delfigur av trekant $ABE$ (buen $BD$ er kortere enn siden $BE$ ). Derfor gjelder:

\frac{1}{2}\sin v < \frac{1}{2}v < \frac{1}{2}\tan v. \qquad \square

Vi starter fra ulikheten i a:

\frac{1}{2}\sin v < \frac{1}{2}v < \frac{1}{2}\tan v.

For $0 < v < \dfrac{\pi}{2}$ er $\sin v > 0$ , så vi kan dele alle ledd med $\dfrac{1}{2}\sin v$ (positivt, ulikhetstegnene bevares):

1 < \frac{v}{\sin v} < \frac{\tan v}{\sin v}.

Vi forenkler høyre side:

\frac{\tan v}{\sin v} = \frac{\dfrac{\sin v}{\cos v}}{\sin v} = \frac{1}{\cos v}.

Dermed:

1 < \frac{v}{\sin v} < \frac{1}{\cos v}. \qquad \square

Fra b har vi for $0 < v < \dfrac{\pi}{2}$ :

1 < \frac{v}{\sin v} < \frac{1}{\cos v}.

Vi tar grenseverdien når $v \to 0^+$ i ytterleddet:

\lim_{v \to 0^+} 1 = 1 \qquad \text{og} \qquad \lim_{v \to 0^+} \frac{1}{\cos v} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1.

Begge yttergrensene er $1$ , og $\dfrac{v}{\sin v}$ er klemt mellom dem. Av skviseteoremet (sandwich-teoremet) følger det at

\lim_{v \to 0^+} \frac{v}{\sin v} = 1.

Siden $\dfrac{v}{\sin v} \neq 0$ i en omegn av $0$ , kan vi ta den gjensidige verdien:

\lim_{v \to 0^+} \frac{\sin v}{v} = \frac{1}{1} = \underline{\underline{1}}. \qquad \square

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2023, del 1, oppgave 5
Temaer: grenseverdi, trigonometri, bevis
Kompetansemål: Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis
Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer