I firkanten $ABCD$ er $\angle BAC$ og $\angle BDC$ periferivinkler som begge spenner over buen $BC$ (den buen som ikke inneholder $A$ eller $D$). Periferivinkelsetningen sier at periferivinkler som spenner over samme bue, er like store. Derfor er

Punktet $E$ er plassert på $BD$ slik at $\angle DCE=\angle ACB$. Se figur 2.

Vi sammenligner trekantene $DEC$ og $ACB$:

• $\angle EDC=\angle BDC=\angle BAC=\angle CAB$, ved resultatet fra a)
• $\angle DCE=\angle ACB$, ved konstruksjonen av $E$

To par like vinkler betyr at trekantene er formlike (vinkel-vinkel-setningen):

der $D\leftrightarrow A$, $E\leftrightarrow B$ og $C\leftrightarrow C$. I formlike trekanter er forholdet mellom tilsvarende sider likt:

Fra ${\displaystyle \frac{DE}{AB}}={\displaystyle \frac{DC}{AC}}$ får vi, ved å multiplisere begge sider med $AB\cdot AC$:

Siden $AC$ er en diagonal som deler vinkelen $\angle BCD$ i to, er

Fra konstruksjonen av $E$ vet vi at $\angle DCE=\angle ACB$. Da er

Videre spenner $\angle CAD$ og $\angle CBD$ over samme bue $CD$, så av periferivinkelsetningen er $\angle CAD=\angle CBD$. Siden $E$ ligger på $BD$, er $\angle CBD=\angle CBE$, altså

To par like vinkler gir at trekantene er formlike:

der $A\leftrightarrow B$, $C\leftrightarrow C$ og $D\leftrightarrow E$. Forholdet mellom tilsvarende sider er da

Fra ${\displaystyle \frac{AC}{BC}}={\displaystyle \frac{AD}{BE}}$ får vi, ved å multiplisere begge sider med $BC\cdot BE$:

Vi legger sammen resultatene fra b) og c):

Venstre side kan skrives om ved å sette $AC$ utenfor parentes:

Siden $E$ ligger mellom $B$ og $D$ på diagonalen $BD$, er $ED+BE=BD$. Dermed er

som er Ptolemaios’ setning.

Rektangelet $ACBD$ er innskrevet i en sirkel med sidene $AC=BD=a$ og $CB=DA=b$, og diagonalene $AB=CD=c$ (i et rektangel er begge diagonalene like lange).

Ptolemaios’ setning brukt på den sykliske firkanten $ACBD$ sier at produktet av diagonalene er lik summen av produktene av de motstående sidene:

Vi setter inn verdiene for rektangelet:

Dette er nettopp Pytagoras’ setning.