Bevis at ortogonale vektorer oppfyller Pytagoras R2 V26

Del 1 · oppgave 8
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Bevis at ortogonale vektorer oppfyller Pytagoras R2 V26

En elev prøver å bevise påstanden ovenfor.

Forklar hvorfor dette ikke er et gyldig matematisk bevis for påstanden.

Bevis påstanden ved hjelp av vektorregning.

Fasit

Elevens bevis tester kun ett spesialtilfelle – et eksempel kan ikke bevise en generell påstand.

∣p⃗+q⃗∣2=∣p⃗∣2+∣q⃗∣2|\vec{p} + \vec{q}|^2 = |\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 følger av at p⃗⋅q⃗=0\vec{p} \cdot \vec{q} = 0 når p⃗⊥q⃗\vec{p} \perp \vec{q}.

LøsningsforslagKI-generert

Elevens bevis sjekker påstanden kun for de to konkrete vektorene p⃗=[4,0,0]\vec{p} = [4, 0, 0] og q⃗=[0,0,3]\vec{q} = [0, 0, 3]. Et enkelt eksempel kan aldri bevise at en påstand gjelder for alle ortogonale vektorer. Et eksempel kan motbevise en generell påstand, men aldri bevise den.

For at beviset skal holde, må det vises at påstanden gjelder for vilkårlige ortogonale vektorer p⃗\vec{p} og q⃗\vec{q}.

Vi antar at p⃗\vec{p} og q⃗\vec{q} er to vilkårlige ortogonale vektorer, dvs. p⃗⊥q⃗\vec{p} \perp \vec{q}.

Fordi vektorene er ortogonale, er skalarproduktet mellom dem lik null:

p⃗⋅q⃗=0\vec{p} \cdot \vec{q} = 0

For en vilkårlig vektor a⃗\vec{a} gjelder at ∣a⃗∣2=a⃗⋅a⃗|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}. Vi beregner ∣p⃗+q⃗∣2|\vec{p} + \vec{q}|^2:

∣p⃗+q⃗∣2=(p⃗+q⃗)⋅(p⃗+q⃗)=p⃗⋅p⃗+p⃗⋅q⃗+q⃗⋅p⃗+q⃗⋅q⃗=∣p⃗∣2+0+0+∣q⃗∣2=∣p⃗∣2+∣q⃗∣2\begin{aligned} |\vec{p} + \vec{q}|^2 &= (\vec{p} + \vec{q}) \cdot (\vec{p} + \vec{q}) \\ &= \vec{p} \cdot \vec{p} + \vec{p} \cdot \vec{q} + \vec{q} \cdot \vec{p} + \vec{q} \cdot \vec{q} \\ &= |\vec{p}|^2 + 0 + 0 + |\vec{q}|^2 \\ &= |\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 \end{aligned}

Dermed er ∣p⃗+q⃗∣2=∣p⃗∣2+∣q⃗∣2|\vec{p} + \vec{q}|^2 = |\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 bevist for alle ortogonale vektorer p⃗\vec{p} og q⃗\vec{q}.

Sensorveiledning

Forklaringen må inneholde at ett riktig eksempel ikke er nok for et bevis.

3 poeng

Beviset må kommuniseres godt for å få full uttelling.

Oppgavedata
Kategori
3
Vanskegrad
2
Poeng
3
Temaer
vektorer, bevis, argumentasjon
Kompetansemål
  • Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis
  • Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet