Bestemt og ubestemt integral R2 V26

Bestem integralene

\int_{0}^{2} (e^{2 x} + x) d x

\int \frac{\sin (\ln x)}{x} d x

Fasit

$\frac{1}{2} (e^{4} + 3)$

$- \cos (\ln x) + C$

Løsningsforslag

Vi bruker at $\int e^{a x} d x = \frac{1}{a} e^{a x} + C$ og $\int x d x = \frac{1}{2} x^{2} + C$ :

\begin{matrix} \int_{0}^{2} (e^{2 x} + x) d x & = {[\frac{1}{2} e^{2 x} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{2} \\ = (\frac{1}{2} e^{4} + \frac{1}{2} \cdot 4) - (\frac{1}{2} e^{0} + 0) \\ = \frac{1}{2} e^{4} + 2 - \frac{1}{2} \\ = \frac{1}{2} e^{4} + \frac{3}{2} = \frac{1}{2} (e^{4} + 3) \end{matrix}

Vi bruker substitusjon. La $u = \ln x$ , da er $\frac{d u}{d x} = \frac{1}{x}$ , altså $d u = \frac{1}{x} d x$ .

\int \frac{\sin (\ln x)}{x} d x = \int \sin (u) d u

= - \cos (u) + C

Vi substituerer tilbake $u = \ln x$ :

= - \cos (\ln x) + C

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidaten kan få 1 poeng for å integrere riktig og 1 poeng for å finne riktig verdi.

Riktig strategi, men feil i utregningen kan gi 1 poeng. Kandidaten kan få full uttelling selv om $C$ utelates i svaret, men det tas med i helhetsvurderingen.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2026, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Substitusjon
Kompetansemål: Gjøre rede for analysens fundamentalteorem og gjøre rede for konsekvenser av teoremet

Bestemt og ubestemt integral R2 V26

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Bestemt og ubestemt integral R2 V26

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Bestemt og ubestemt integral R2 V26

Bestemt og ubestemt integral R2 V26

Lov på eksamen

Temaer