Bestem integralene R2 H18

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int (2 x^{2} - 3 x) d x

\int 4 x \cdot \cos (x^{2} + 2) d x

\int \frac{4}{x^{2} - 4} d x

Fasit

$\frac{2}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + C$

$2 \sin (x^{2} + 2) + C$

$\ln | \frac{x - 2}{x + 2} | + C$

LøsningsforslagKI-generert

Vi integrerer ledd for ledd med regelen $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ :

\int (2 x^{2} - 3 x) d x = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + C

Vi bruker substitusjon $u = x^{2} + 2$ , som gir $d u = 2 x d x$ , altså $4 x d x = 2 d u$ :

\int 4 x \cdot \cos (x^{2} + 2) d x = \int 2 \cos (u) d u = 2 \sin (u) + C

Vi setter tilbake $u = x^{2} + 2$ :

2 \sin (x^{2} + 2) + C

Vi faktoriserer nevneren, $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ , og skriver brøken som en sum av delbrøker:

\frac{4}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}

Vi multipliserer med fellesnevneren:

4 = A (x + 2) + B (x - 2)

Setter $x = 2$ : $4 = 4 A \Rightarrow A = 1$

Setter $x = - 2$ : $4 = - 4 B \Rightarrow B = - 1$

Da blir integralet

\int \frac{4}{x^{2} - 4} d x = \int (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}) d x = \ln | x - 2 | - \ln | x + 2 | + C

= \ln | \frac{x - 2}{x + 2} | + C

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2018, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Integrasjon, Substitusjon, Rasjonale funksjoner

Innstillinger