Befolkningsvekst modellert med differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I 2008 var innvandringen til Norge $1,4 %$ av folketallet $y$ , mens utvandringen var $0,5 %$ av $y$ . Dette året ble det født 60 000, mens antall døde var 42 000.

Vi antar at disse dataene for befolkningsendringen holder seg konstant noen år. Vi lar innbyggertallet i Norge være $y (t)$ , der $t$ er antall år etter 1. januar 2009. Det vil si at $y (0)$ er folketallet i begynnelsen av 2009, $y (1)$ er folketallet i begynnelsen av 2010, og så videre.

For hånd

Forklar at befolkningsendringen kan beskrives ved differensiallikningen

y^{'} = 0,009 \cdot y + 18 000

Kalkulator

Bestem folketallet det året befolkningen vokser med 72 000.

For hånd

Finn den generelle løsningen av differensiallikningen ved regning.

Kalkulator

Folketallet i Norge 1. januar 2009 var 4 800 000. Bestem konstanten i løsningen av differensiallikningen.

Kalkulator

Hvor lang tid vil det ta, ifølge modellen ovenfor, før innbyggertallet i Norge er 6 000 000?

Fasit

Se løsningsforslag.

$y = 6 000 000$

$y (t) = C \cdot e^{0,009 t} - 2 000 000$

$C = 6 800 000$

$t \approx 18,1 år$

LøsningsforslagKI-generert

Innvandringen gir en økning i folketallet på $1,4 % \cdot y = 0,014 y$ per år, mens utvandringen gir en reduksjon på $0,5 % \cdot y = 0,005 y$ per år. Nettoeffekten av inn- og utvandring er dermed

0,014 y - 0,005 y = 0,009 y

I tillegg blir det født $60 000$ og dør $42 000$ dette året, uavhengig av folketallet $y$ . Dette gir et fødselsoverskudd på

60 000 - 42 000 = 18 000

Den totale endringen i folketallet per år, $y^{'}$ , er summen av disse bidragene:

y^{'} = 0,009 \cdot y + 18 000

Vi bruker differensiallikningen fra a) direkte. Befolkningen vokser med $72 000$ betyr at $y^{'} = 72 000$ :

0,009 \cdot y + 18 000 = 72 000

Løst med CAS (se linje 1 i skjermbildet):

Befolkningsvekst - CAS

y = 6 000 000

Svar: Folketallet er $6 000 000$ det året befolkningen vokser med $72 000$ .

Vi løser differensiallikningen $y^{'} = 0,009 y + 18 000$ ved separasjon av variabler:

\frac{d y}{0,009 y + 18 000} = d t

Vi integrerer på begge sider:

\int \frac{d y}{0,009 y + 18 000} = \int d t

\frac{1}{0,009} \ln | 0,009 y + 18 000 | = t + C_{1}

\ln | 0,009 y + 18 000 | = 0,009 t + C_{2}

0,009 y + 18 000 = C_{3} \cdot e^{0,009 t}

y = C \cdot e^{0,009 t} - 2 000 000

Dette bekreftes av CAS i linje 2 (se skjermbildet over), som gir samme løsning med $C_{3} / 0,009$ skrevet som konstanten $C$ .

Svar: Den generelle løsningen er

y (t) = C \cdot e^{0,009 t} - 2 000 000

Vi vet at $y (0) = 4 800 000$ . Vi setter $t = 0$ inn i den generelle løsningen:

4 800 000 = C \cdot e^{0,009 \cdot 0} - 2 000 000 = C - 2 000 000

C = 4 800 000 + 2 000 000 = 6 800 000

Dette stemmer med yf(0) i linje 4 på skjermbildet, som gir $4 800 000$ når $C = 6 800 000$ er satt inn.

Svar: $C = 6 800 000$ , og løsningen blir

y (t) = 6 800 000 \cdot e^{0,009 t} - 2 000 000

Vi skal finne $t$ slik at $y (t) = 6 000 000$ :

6 000 000 = 6 800 000 \cdot e^{0,009 t} - 2 000 000

Løst med CAS (linje 5 i skjermbildet over) gir

t = \frac{1000}{9} \ln (\frac{20}{17}) \approx 18,06

Svar: Det vil ta om lag $t \approx 18 år$ før innbyggertallet i Norge når $6 000 000$ , altså rundt år $2027$ ifølge modellen.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2010, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 10
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Eksponentialfunksjon

Befolkningsvekst modellert med differensiallikning

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Befolkningsvekst modellert med differensiallikning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Befolkningsvekst modellert med differensiallikning

Befolkningsvekst modellert med differensiallikning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer