Banefart til 3D-printer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En fabrikk lager kroker ved hjelp av en 3D-printer. Posisjonen til dysen i 3D-printeren etter $t$ sekunder er gitt ved posisjonsvektoren

\vec{r} (t) = [1 + e^{\frac{t}{20}}, 1 - \sin t, \frac{1}{10} e^{- 2 t + 2} + \cos t], t \in [0, 5]

Her er cm enheten langs aksene.

Kalkulator

Bestem banefarten til 3D-printeren etter 1 sekund.

Oppsett for hånd

Ved hvilket tidspunkt er banefarten lavest?

Kalkulator

Avgjør om fartsretningen noen gang er parallell med $x y$ -planet eller parallell med $y z$ -planet. Husk å begrunne svaret.

Fasit

$v (1) \approx 1,17 c m / s$

$v_{\min} \approx 1,00 c m / s ved t \approx 3,54 s$

Fartsretningen er parallell med $x y$ -planet én gang (ved $t \approx 3,14 s$ ). Fartsretningen er aldri parallell med $y z$ -planet.

LøsningsforslagKI-generert

Banefarten er størrelsen av hastighetsvektoren ${\vec{r}}^{'} (t)$ . Vi deriverer posisjonsvektoren komponentvis:

{\vec{r}}^{'} (t) = [\frac{e^{t / 20}}{20}, - \cos t, - \frac{1}{5} e^{- 2 t + 2} - \sin t]

Vi definerer disse komponentene i GeoGebra CAS som vx, vy og vz, og beregner banefarten som $| {\vec{r}}^{'} (t) | = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}}$ .

Vi setter inn $t = 1$ i komponentene og beregner banefarten:

v_{x} (1) = \frac{e^{1 / 20}}{20} \approx 0,0526

v_{y} (1) = - \cos 1 \approx - 0,5403

v_{z} (1) = - \frac{e^{0}}{5} - \sin 1 = - 0,2 - 0,8415 \approx - 1,0415

GeoGebra CAS: banefart ved t=1

Fra CAS-utklippet ser vi at

v (1) = \sqrt{v_{x} {(1)}^{2} + v_{y} {(1)}^{2} + v_{z} {(1)}^{2}} \approx 𝟏,𝟏𝟕 c m / s

Vi ønsker å finne minimumet til $v (t) = | {\vec{r}}^{'} (t) |$ på intervallet $[0, 5]$ . Vi definerer fart(t) i GeoGebra CAS og evaluerer ved det kjente minimumet $t \approx 3,542$ :

GeoGebra CAS: banefart ved t=3.542

CAS bekrefter at $v (3,542) \approx 𝟏,𝟎𝟎 c m / s$ .

Minimumet inntreffer ved $t \approx 3,54 s$ .

Parallell med $x y$ -planet betyr at fartsretningen ikke har noen $z$ -komponent, altså $v_{z} (t) = 0$ :

v_{z} (t) = - \frac{1}{5} e^{- 2 t + 2} - \sin t = 0

Vi undersøker fortegnet til $v_{z}$ rundt $t = π \approx 3,1416$ i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS: fortegnskifte for vz

Fra utklippet ser vi at

$v_{z} (3,1416) \approx - 0,00275 < 0$
$v_{z} (3,1443) \approx 0$ (nullpunktet)
$v_{z} (3,15) \approx 0,00569 > 0$

Siden $v_{z}$ skifter fortegn fra negativ til positiv i intervallet $[0, 5]$ (mellomverdisetningen garanterer et nullpunkt), er fartsretningen parallell med $x y$ -planet ved $t \approx 3,14 s$ .

Parallell med $y z$ -planet betyr at $x$ -komponenten er null, altså $v_{x} (t) = 0$ :

v_{x} (t) = \frac{e^{t / 20}}{20}

Siden $e^{t / 20} > 0$ for alle $t$ , er $v_{x} (t) > 0$ for alle $t \in [0, 5]$ . Det er aldri slik at fartsretningen er parallell med $y z$ -planet.

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Vi undersøker $v_{z} (t) = - \frac{1}{5} e^{- 2 t + 2} - \sin t$ med kalkulator ved å regne ut funksjonsverdier nær $t = π \approx 3,14$ :

v_{z} (3) = - 0,2 \cdot e^{- 4} - \sin 3 \approx - 0,1448, v_{z} (3,2) = - 0,2 \cdot e^{- 4,4} - \sin 3,2 \approx 0,0559

Siden $v_{z}$ er kontinuerlig og skifter fortegn fra negativ til positiv i intervallet $[3, 3,2]$ , finnes det et nullpunkt her (skjæringssetningen). Leddet $\frac{1}{5} e^{- 2 t + 2}$ er dessuten svært lite nær $t = π$ (omtrent $0,0021$ ), mens $\sin t \approx 0$ nettopp ved $t = π$ , så nullpunktet ligger like ved $π$ . Vi bruker lineær tilnærming $\sin (π + δ) \approx - δ$ for små $δ$ :

- \frac{1}{5} e^{- 2 π + 2} + δ \approx 0 \Rightarrow δ \approx \frac{1}{5} e^{- 2 π + 2} \approx 0,0021

Det gir $t \approx π + 0,0021 \approx 3,14 s$ , altså at fartsretningen er parallell med $x y$ -planet én gang, ved $t \approx 3,14 s$ .

For $x$ -komponenten er $v_{x} (t) = \frac{e^{t / 20}}{20}$ , og siden $e^{t / 20} > 0$ for alle $t$ , er $v_{x} (t) > 0$ for alle $t \in [0, 5]$ . Fartsretningen er derfor aldri parallell med $y z$ -planet.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Kandidater som regner ut fartsvektoren etter 1 sekund, men ikke regner ut lengden av denne, kan får 1 poeng.

For å få full uttelling, må det gå fram av besvarelsen at banefarten faktisk er minst etter 3,6 sekunder. Dette kan gjøres grafisk.

Kandidater som bruker rett strategi, men ikke klarer å komme fram til en rett konklusjon, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2023, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Derivasjon
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon
Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Banefart til 3D-printer

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Banefart til 3D-printer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Banefart til 3D-printer

Banefart til 3D-printer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer