Banefart til 3D-printer

En fabrikk lager kroker ved hjelp av en 3D-printer. Posisjonen til dysen i 3D-printeren etter $t$ sekunder er gitt ved posisjonsvektoren

\vec{r}(t) = \left[1 + e^{\frac{t}{20}},\ 1 - \sin t,\ \frac{1}{10}e^{-2t+2} + \cos t\right], \quad t \in [0, 5]

Her er cm enheten langs aksene.

Bestem banefarten til 3D-printeren etter 1 sekund.

Ved hvilket tidspunkt er banefarten lavest?

Avgjør om fartsretningen noen gang er parallell med $xy$ -planet eller parallell med $yz$ -planet. Husk å begrunne svaret.

Fasit

$\underline{\underline{v(1) \approx 1{,}17 \, \mathrm{cm/s}}}$

$\underline{\underline{v_{\min} \approx 1{,}00 \, \mathrm{cm/s} \text{ ved } t \approx 3{,}54 \, \mathrm{s}}}$

Fartsretningen er parallell med $xy$ -planet én gang (ved $t \approx 3{,}14 \, \mathrm{s}$ ). Fartsretningen er aldri parallell med $yz$ -planet.

LøsningsforslagKI-generert

Banefarten er størrelsen av hastighetsvektoren $\vec{r}'(t)$ . Vi deriverer posisjonsvektoren komponentvis:

\vec{r}'(t) = \left[\frac{e^{t/20}}{20},\ -\cos t,\ -\frac{1}{5}e^{-2t+2} - \sin t\right]

Vi definerer disse komponentene i GeoGebra CAS som vx, vy og vz, og beregner banefarten som $|\vec{r}'(t)| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$ .

Vi setter inn $t = 1$ i komponentene og beregner banefarten:

v_x(1) = \frac{e^{1/20}}{20} \approx 0{,}0526

v_y(1) = -\cos 1 \approx -0{,}5403

v_z(1) = -\frac{e^{0}}{5} - \sin 1 = -0{,}2 - 0{,}8415 \approx -1{,}0415

GeoGebra CAS: banefart ved t=1

Fra CAS-utklippet ser vi at

v(1) = \sqrt{v_x(1)^2 + v_y(1)^2 + v_z(1)^2} \approx \mathbf{\underline{\underline{1{,}17 \, \mathrm{cm/s}}}}

Vi ønsker å finne minimumet til $v(t) = |\vec{r}'(t)|$ på intervallet $[0, 5]$ . Vi definerer fart(t) i GeoGebra CAS og evaluerer ved det kjente minimumet $t \approx 3{,}542$ :

GeoGebra CAS: banefart ved t=3.542

CAS bekrefter at $v(3{,}542) \approx \mathbf{\underline{\underline{1{,}00 \, \mathrm{cm/s}}}}$ .

Minimumet inntreffer ved $t \approx 3{,}54 \, \mathrm{s}$ .

Parallell med $xy$ -planet betyr at fartsretningen ikke har noen $z$ -komponent, altså $v_z(t) = 0$ :

v_z(t) = -\frac{1}{5}e^{-2t+2} - \sin t = 0

Vi undersøker fortegnet til $v_z$ rundt $t = \pi \approx 3{,}1416$ i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS: fortegnskifte for vz

Fra utklippet ser vi at

$v_z(3{,}1416) \approx -0{,}00275 < 0$
$v_z(3{,}1443) \approx 0$ (nullpunktet)
$v_z(3{,}15) \approx 0{,}00569 > 0$

Siden $v_z$ skifter fortegn fra negativ til positiv i intervallet $[0, 5]$ (mellomverdisetningen garanterer et nullpunkt), er fartsretningen parallell med $xy$ -planet ved $t \approx 3{,}14 \, \mathrm{s}$ .

Parallell med $yz$ -planet betyr at $x$ -komponenten er null, altså $v_x(t) = 0$ :

v_x(t) = \frac{e^{t/20}}{20}

Siden $e^{t/20} > 0$ for alle $t$ , er $v_x(t) > 0$ for alle $t \in [0, 5]$ . Det er aldri slik at fartsretningen er parallell med $yz$ -planet.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2023, del 2, oppgave 3
Temaer: vektorer, derivasjon
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon
Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet