Avstand mellom to funksjoner

Ovenfor har Sara tegnet grafene til funksjonene $f$ og $g$ gitt ved

f(x) = 2x + 8

g(x) = x^3 - x^2 - 4x + 8

Sara sine grafer til f og g

Linjen $x = 1$ skjærer grafen til $f$ i punktet $P$ og grafen til $g$ i punktet $Q$ .

Bestem avstanden fra $P$ til $Q$ .

Sara skal tegne en ny linje $x = a$ der $a \in \langle 1, 3 \rangle$ i koordinatsystemet. Hun vil kalle skjæringspunktet mellom linjen og grafen til $f$ for $R$ og skjæringspunktet mellom linjen og grafen til $g$ for $S$ .

Bestem $a$ slik at avstanden fra $R$ til $S$ blir størst mulig. Oppgi svaret eksakt.

Fasit

$\underline{\underline{PQ = 6}}$

$\underline{\underline{a = \dfrac{1 + \sqrt{19}}{3}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å løse oppgaven.

CAS-utregning for oppgave 5

Vi definerer $f$ og $g$ og beregner funksjonsverdiene ved $x = 1$ (linje 3–4 i CAS):

f(1) = 2 \cdot 1 + 8 = 10 \quad \Rightarrow \quad P = (1,\, 10)

g(1) = 1^3 - 1^2 - 4 \cdot 1 + 8 = 4 \quad \Rightarrow \quad Q = (1,\, 4)

Siden $P$ og $Q$ ligger på den vertikale linjen $x = 1$ , er avstanden

PQ = |f(1) - g(1)| = |10 - 4| = \mathbf{\underline{\underline{6}}}

For $a \in \langle 1, 3 \rangle$ er $f(a) > g(a)$ , så avstanden fra $R$ til $S$ er

d(a) = f(a) - g(a)

CAS forenkler dette til (linje 5–6):

d(a) = -a^3 + a^2 + 6a

Vi finner ekstremalstedene ved å derivere og sette $d'(a) = 0$ (linje 7–8):

d'(a) = -3a^2 + 2a + 6 = 0

CAS gir løsningene $a = \dfrac{-\sqrt{19}+1}{3}$ og $a = \dfrac{\sqrt{19}+1}{3}$ .

Siden $a \in \langle 1, 3 \rangle$ er det kun $a = \dfrac{1 + \sqrt{19}}{3} \approx 1{,}79$ som er aktuell.

Vi kontrollerer at det er et maksimum: $d''(a) = -6a + 2$ , og ved $a \approx 1{,}79$ er $d''(a) < 0$ , så det er et maksimumspunkt.

Maksimal avstand fra $R$ til $S$ oppnås når

\mathbf{\underline{\underline{a = \frac{1 + \sqrt{19}}{3}}}}

(Maksimumsverdien er $d\left(\dfrac{1+\sqrt{19}}{3}\right) = \dfrac{2}{27}\left(19\sqrt{19}+28\right) \approx 8{,}21$ .)

Sensorveiledning

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: derivasjon, optimering, funksjoner
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar