Det ser ikke ut til at disse er like. La oss finne et eksempel for å motbevise påstanden.

Påstanden stemmer ikke. Vi har funnet et moteksempel.

En fjerdegradsfunksjon har en tredjegradsfunksjon som sin deriverte. En tredjegradsfunksjon vil alltid krysse $x$-aksen i minst ett punkt siden $x^3$ gjør negative $x$-verdier til veldig negative $y$-verdier, og den gjør positive $x$-verdier til veldig positive $y$-verdier.

Siden tredjegradsfunksjonen krysser $x$-aksen så må den deriverte bytte fortegn minst en gang. Det betyr at en fjerdegradsfunksjon må ha minst ett ekstremalpunkt.

Påstanden stemmer.

For at en funksjon skal ha en omvendt funksjon, er det eneste kravet at funksjonen er injektiv (én-til-én), det vil si at to ulike $x$-verdier aldri gir samme funksjonsverdi $y$.

Selv om de fleste kontinuerlige funksjoner på et intervall må være monotone for å ha en invers, gjelder ikke dette generelt. Vi kan ha en funksjon som er voksende i én del og avtakende i en annen, så lenge de to delene aldri «treffer» samme $y$-verdier.

Moteksempel: La $f$ være definert ved:

• På $[0,1]$ er funksjonen voksende og har verdimengde $[0,1]$.
• På $[2,3]$ er funksjonen avtakende og har verdimengde $[2,3]$.

Siden de to verdimengdene er helt adskilte, vil ingen horisontal linje treffe grafen to ganger. Funksjonen er injektiv og har derfor en omvendt funksjon, til tross for at den ikke er monoton over hele definisjonsmengden.

Påstanden stemmer ikke.