Avgjør påstander om funksjoner

Nedenfor ser du tre påstander. Avgjør i hvert tilfelle om påstanden er sann eller usann. Husk å vise tydelig hvordan du argumenterer og resonnerer.

Hvis $x > 0$ , så er $(\ln x)^4 = 4 \ln x$ .

Alle fjerdegradsfunksjoner må ha minst ett ekstremalpunkt.

For at en funksjon skal ha en omvendt funksjon, må funksjonen være enten strengt voksende eller strengt avtakende.

Fasit

Stemmer ikke

Stemmer

Vet ikke enda

Løsningsforslag

\begin{aligned} \left( \ln x \right)^{4}&=\ln x\cdot \ln x \cdot \ln x \cdot \ln x \\ 4 \ln x &= \ln x + \ln x + \ln x + \ln x \end{aligned}

Det ser ikke ut til at disse er like. La oss finne et eksempel for å motbevise påstanden.

\begin{aligned} (\ln e)^{4}&=1^{4}=1 \\ 4 \ln e &= 4 \cdot 1 =4 \end{aligned}

Påstanden stemmer ikke. Vi har funnet et moteksempel.

En fjerdegradsfunksjon har en tredjegradsfunksjon som sin deriverte. En tredjegradsfunksjon vil alltid krysse $x$ -aksen i minst ett punkt siden $x^3$ gjør negative $x$ -verdier til veldig negative $y$ -verdier, og den gjør positive $x$ -verdier til veldig positive $y$ -verdier.

Siden tredjegradsfunksjonen krysser $x$ -aksen så må den deriverte bytte fortegn minst en gang. Det betyr at en fjerdegradsfunksjon må ha minst ett ekstremalpunkt.

Påstanden stemmer.

Oppgavedata

Temaer: funksjoner, logaritmer, derivasjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner