Arkimedes og sammenhengen mellom sylinder, kule og kjegle

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kule har diameter lik $2 r$ .

En kjegle og en sylinder har begge høyde lik $2 r$ .

Arkimedes viste at volumet av sylinderen er lik samlet volum av kulen og kjeglen.

Bruk formlene nedenfor, og vis at dette stemmer.

En sylinder med radius r og høyde 2r er lik summen av en kule med radius r og en kjegle med radius r og høyde 2r

V_{Sylinder} = π r^{2} h V_{Kule} = \frac{4}{3} π r^{3} V_{Kjegle} = \frac{π r^{2} h}{3}

Fasit

Vist algebraisk (se løsningsforslag) at $V_{Sylinder} = V_{Kule} + V_{Kjegle} = 2 π r^{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Sylinderen og kjeglen har begge høyde $h = 2 r$ , og alle tre figurene har radius $r$ .

Vi regner ut volumet av sylinderen:

\begin{matrix} V_{Sylinder} & = π r^{2} h \\ = π r^{2} \cdot 2 r \\ = 2 π r^{3} \end{matrix}

Vi regner ut volumet av kula:

V_{Kule} = \frac{4}{3} π r^{3}

Vi regner ut volumet av kjeglen:

\begin{matrix} V_{Kjegle} & = \frac{π r^{2} h}{3} \\ = \frac{π r^{2} \cdot 2 r}{3} \\ = \frac{2}{3} π r^{3} \end{matrix}

Så legger vi sammen volumet av kula og kjeglen:

\begin{matrix} V_{Kule} + V_{Kjegle} & = \frac{4}{3} π r^{3} + \frac{2}{3} π r^{3} \\ = \frac{4 + 2}{3} π r^{3} \\ = \frac{6}{3} π r^{3} \\ = 2 π r^{3} \end{matrix}

Dette er nøyaktig det samme som volumet av sylinderen, $V_{Sylinder} = 2 π r^{3}$ . Vi har dermed vist at

V_{Sylinder} = V_{Kule} + V_{Kjegle}

Oppgavedata

Hentet fra: 10. trinn V2018, del 1, oppgave 19
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Romgeometri, Volum, Bevis, Formler

Innstillinger