Aritmetisk og geometrisk rekke

Del 1 · oppgave 6
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Aritmetisk og geometrisk rekke

Ta utgangspunkt i den aritmetiske rekken

−3+0+3+⋯+69-3 + 0 + 3 + \dots + 69

Bestem summen av rekken.

Ta utgangspunkt i den uendelige geometriske rekken

5+5⋅(12−x)+5⋅(12−x)2+…5 + 5\cdot\left(\frac{1}{2}-x\right) + 5\cdot\left(\frac{1}{2}-x\right)^2 + \ldots

Bestem konvergensområdet til rekken.

En ball faller fra 2 meters høyde. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den opp til en høyde som er 75 % av høyden den falt fra.

Hvor mange meter vil ballen bevege seg totalt?

Fasit

825825

x∈⟨−12, 32⟩x \in \left\langle -\dfrac{1}{2},\, \dfrac{3}{2} \right\rangle

14 m14 \, \mathrm{m}

Løsningsforslag

Den aritmetiske rekken −3+0+3+…+69-3 + 0 + 3 + \ldots + 69 har a1=−3a_1 = -3, d=3d = 3 og siste ledd an=69a_n = 69.

an=a1+(n−1)d  ⟹  69=−3+(n−1)⋅3  ⟹  n=25a_n = a_1 + (n-1)d \implies 69 = -3 + (n-1)\cdot 3 \implies n = 25 s25=a1+an2⋅n=−3+692⋅25=33⋅25=825s_{25} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{-3 + 69}{2} \cdot 25 = 33 \cdot 25 = 825

Summen av rekken er 825‾‾\underline{\underline{825}}.

Rekken 5+5⋅(12−x)+5⋅(12−x)2+…5 + 5\cdot\left(\dfrac{1}{2}-x\right) + 5\cdot\left(\dfrac{1}{2}-x\right)^2 + \ldots er geometrisk med kvotient k=12−xk = \dfrac{1}{2} - x.

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når ∣k∣<1|k| < 1:

∣12−x∣<1  ⟹  −1<12−x<1  ⟹  −12<x<32\left|\frac{1}{2} - x\right| < 1 \implies -1 < \frac{1}{2} - x < 1 \implies -\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}

Konvergensområdet er x∈⟨−12, 32⟩‾‾\underline{\underline{x \in \left\langle -\dfrac{1}{2},\, \dfrac{3}{2} \right\rangle}}.

Ballen faller 2 m2 \, \mathrm{m}, spretter opp 2⋅0,75 m2 \cdot 0{,}75 \, \mathrm{m}, faller ned 2⋅0,75 m2 \cdot 0{,}75 \, \mathrm{m}, spretter opp 2⋅0,752 m2 \cdot 0{,}75^2 \, \mathrm{m}, osv.

d=2⏟første fall+2⋅(2⋅0,75+2⋅0,752+…)⏟opp og ned=2+2⋅2⋅0,751−0,75=2+2⋅1,50,25=2+12=14\begin{aligned} d &= \underbrace{2}_{\text{første fall}} + 2 \cdot \underbrace{\left(2\cdot 0{,}75 + 2\cdot 0{,}75^2 + \ldots\right)}_{\text{opp og ned}} \\ &= 2 + 2 \cdot \frac{2 \cdot 0{,}75}{1 - 0{,}75} \\ &= 2 + 2 \cdot \frac{1{,}5}{0{,}25} \\ &= 2 + 12 = 14 \end{aligned}

Ballen beveger seg totalt 14 m‾‾\underline{\underline{14 \, \mathrm{m}}}.

Sensorveiledning

Kandidater som finner riktig antall ledd kan få 1 poeng.

3 poeng

Riktig oppsett, men feil i utregning kan gi 1 poeng.

3 poeng

En god strategi som ikke fører helt fram kan gi 1 poeng.

Oppgavedata
Kategori
2
Vanskegrad
2
Poeng
6
Temaer
rekker, geometrisk vekst, aritmetisk rekke, konvergens, uendelig rekke
Kompetansemål
  • Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker