Areal under x² og forholdet mellom F₁ og F₂

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har funksjonen $f (x) = x^{2}$

Skisse av f med F₁ og F₂

Bestem arealet $F_{1}$ avgrenset av grafen til $f$ , førsteaksen og linjen $x = a$ der $a > 0$ .

Rektangelet på skissen ovenfor kan deles i to områder med arealene $F_{1}$ og $F_{2}$ .

Vis at $\frac{F_{2}}{F_{1}} = 2$

Vi skal nå se på funksjonen $g (x) = x^{n}$ , der $n$ er et naturlig tall. Et tilsvarende rektangel som det ovenfor med funksjonen $g$ kan også deles i to områder med arealene $G_{1}$ og $G_{2}$ .

Forklar at $G_{1} = \frac{1}{n + 1} \cdot a^{n + 1}$

Bestem $\frac{G_{2}}{G_{1}}$

Fasit

$F_{1} = \frac{a^{3}}{3}$

$\frac{F_{2}}{F_{1}} = 2$

$G_{1} = \frac{a^{n + 1}}{n + 1}$

$\frac{G_{2}}{G_{1}} = n$

LøsningsforslagKI-generert

$F_{1}$ er arealet mellom grafen til $f (x) = x^{2}$ , $x$ -aksen og linjen $x = a$ , altså et bestemt integral fra $0$ til $a$ :

F_{1} = \int_{0}^{a} x^{2} d x = {[\frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{a} = \frac{a^{3}}{3} - 0

F_{1} = \frac{a^{3}}{3}

Rektangelet på skissen har grunnlinje $a$ og høyde $f (a) = a^{2}$ , altså totalt areal $a \cdot a^{2} = a^{3}$ . Dette rektangelet er delt i $F_{1}$ (under grafen) og $F_{2}$ (over grafen), så

F_{2} = a^{3} - F_{1} = a^{3} - \frac{a^{3}}{3} = \frac{3 a^{3} - a^{3}}{3} = \frac{2 a^{3}}{3}

Dermed er

\frac{F_{2}}{F_{1}} = \frac{\frac{2 a^{3}}{3}}{\frac{a^{3}}{3}} = \frac{2 a^{3}}{3} \cdot \frac{3}{a^{3}} = 2

Vi har vist at $\frac{F_{2}}{F_{1}} = 2$ .

På samme måte som i a) er $G_{1}$ arealet under grafen til $g (x) = x^{n}$ fra $0$ til $a$ , altså det bestemte integralet

G_{1} = \int_{0}^{a} x^{n} d x = {[\frac{1}{n + 1} x^{n + 1}]}_{0}^{a} = \frac{1}{n + 1} a^{n + 1} - 0

G_{1} = \frac{1}{n + 1} \cdot a^{n + 1}

Rektangelet med grunnlinje $a$ og høyde $g (a) = a^{n}$ har totalt areal $a \cdot a^{n} = a^{n + 1}$ . Siden dette rektangelet er delt i $G_{1}$ og $G_{2}$ , er

G_{2} = a^{n + 1} - G_{1} = a^{n + 1} - \frac{a^{n + 1}}{n + 1} = a^{n + 1} (1 - \frac{1}{n + 1}) = a^{n + 1} \cdot \frac{n}{n + 1}

Dermed er

\frac{G_{2}}{G_{1}} = \frac{a^{n + 1} \cdot \frac{n}{n + 1}}{\frac{a^{n + 1}}{n + 1}} = n

\frac{G_{2}}{G_{1}} = n

(For $n = 2$ gir dette $\frac{G_{2}}{G_{1}} = 2$ , som stemmer med resultatet i b).)

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2010, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Bestemt integral, Integrasjon, Bevis, Funksjoner

Areal under x² og forholdet mellom F₁ og F₂

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Areal under x² og forholdet mellom F₁ og F₂

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Areal under x² og forholdet mellom F₁ og F₂

Areal under x² og forholdet mellom F₁ og F₂

Lov på eksamen

Temaer