Areal under kurve som brøk av rektangelareal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = a^{2} - x^{2}, der a > 0

Rektangelet $A B C D$ er gitt ved at

$A$ er origo
$B$ er det høyre skjæringspunktet mellom grafen til $f$ og $x$ -aksen
$D$ er toppunktet på grafen til $f$

Rektangel ABCD med kurven til f og fargelagt område

Vis at arealet av det fargelagte området utgjør $\frac{2}{3}$ av rektangelets areal.

Fasit

$Arealet under kurven er \frac{2}{3} av rektangelets areal$

LøsningsforslagKI-generert

Grafen til $f (x) = a^{2} - x^{2}$ skjærer $x$ -aksen der $a^{2} - x^{2} = 0$ , altså i $x = - a$ og $x = a$ . Det høyre skjæringspunktet er dermed $B (a, 0)$ . Toppunktet er der $f$ har maksimum, det vil si $x = 0$ , som gir $D (0, a^{2})$ . Med $A$ i origo blir rektangelet $A B C D$ utspent av bredden $a$ og høyden $a^{2}$ , så

A_{rektangel} = a \cdot a^{2} = a^{3}

Det fargelagte arealet under grafen fra $x = 0$ til $x = a$ finner vi ved integrasjon.

A_{farget} = \int_{0}^{a} (a^{2} - x^{2}) d x = {[a^{2} x - \frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{a} = a^{3} - \frac{1}{3} a^{3} = \frac{2}{3} a^{3}

Forholdet mellom det fargelagte arealet og rektangelets areal blir

\frac{A_{farget}}{A_{rektangel}} = \frac{\frac{2}{3} a^{3}}{a^{3}} = \frac{2}{3}

Dermed er det vist at det fargelagte området utgjør $\frac{2}{3}$ av rektangelets areal.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2019, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Bestemt integral, Areal under graf, Bevis

Areal under kurve som brøk av rektangelareal

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Areal under kurve som brøk av rektangelareal

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Areal under kurve som brøk av rektangelareal

Areal under kurve som brøk av rektangelareal

Lov på eksamen

Temaer